Interested Article - Длина свободного пробега

Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние $\lambda$ , которое пролетает частица за время между двумя последовательными столкновениями.

Для каждой молекулы это расстояние различно, поэтому в кинетической теории газов под длиной свободного пробега обычно подразумевается средняя длина свободного пробега < $\lambda$ >, которая является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры .

Теория рассеяния

Представим поток частиц, проходящих через мишень размером $L\times L$ , и рассмотрим бесконечно тонкий слой этой мишени (см. рисунок). Красным здесь обозначены атомы, с которыми частицы падающего пучка могут столкнуться. Значение длины свободного пробега будет зависеть от характеристик этой системы. Если все частицы мишени покоятся, то выражение для длины свободного пробега будет выглядеть как:

\ell =(\sigma n)^{-1},

где n — количество частиц мишени в единице объёма, а σ — эффективное сечение .

Площадь такого слоя L ² , объём L ² dx , и тогда количество неподвижных атомов в нём n L ² dx . Вероятность $dP$ рассеяния этим слоем одной частицы равна отношению части площади сечения, «перекрываемой» всеми рассеивающими частицами, ко всей площади сечения:

dP={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,

где σ — площадь, или, более точно, сечение рассеяния одного атома.

Тогда уменьшение $dI$ интенсивности потока будет равно начальной интенсивности, умноженной на вероятность рассеяния частицы внутри мишени:

dI=-In\sigma \,dx.

Получаем дифференциальное уравнение

{\frac {dI}{dx}}=-In\sigma =-{\frac {I}{\ell }},

решение которого известно как закон закон Бугера и имеет вид $I=I_{0}e^{-x/\ell }$ , где x — расстояние, пройденное пучком, I ₀ — интенсивность пучка до того, как он попал в мишень, а ℓ называется средней длиной свободного пробега, потому что она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание, что вероятность того, что частица будет рассеяна в слое от x до x + dx , равна

dP(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.

И таким образом, среднее значение x будет равно

\langle x\rangle =\int _{0}^{\infty }xdP(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .

Отношение части частиц, которые не рассеялись мишенью, к количеству, падающему на её поверхность, называется коэффициентом пропускания $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$ , где x = dx — толщина мишени

Кинетическая теория

В кинетической теории газов длина свободного пробега частицы (например, молекулы) — это среднее расстояние, которое проходит частица за время между столкновениями с другими движущимися частицами. В приведенном выше выводе предполагалось, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому формула $\ell =(n\sigma )^{-1}$ , вообще говоря, справедлива только для падающих частиц со скоростями, высокими относительно скоростей совокупности таких же частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени будут незначительны, а относительная скорость примерно равна скорости частицы.

Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

${\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.$

В состоянии равновесия значения скоростей $\mathbf {v} _{1}$ и $\mathbf {v} _{2}$ случайны и независимы, поэтому ${\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0$ , а относительная скорость равна

$v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.$

Это означает, что количество столкновений равно ${\sqrt {2}}$ , умноженному на количество неподвижных целей. Следовательно, применимо следующее соотношение:

$\ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}$

Из закона Менделеева — Клапейрона $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ и с учётом $\sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2}$ ( эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц радиусом $r$ ) можно показать, что длина свободного пробега равна

\ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},

где k _B — постоянная Больцмана .

На практике диаметр молекул газа не определён точно. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса . Один из способов описать такие «мягкие» молекулы — использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ — предположить, что газ в модели твердых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ . Это приводит к средней длине свободного пробега

\ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},

где m — масса молекулы, а μ — вязкость . Это выражение можно удобно представить в следующем виде:

\ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{u}T}{2M}}},

где $R_{u}$ — универсальная газовая постоянная , а $M$ — молекулярная масса . Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.

Формула

\lambda ={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma n}}

, где

\sigma

— эффективное сечение молекулы, равное

{\pi d^{2}}

(

d

— э ффективный диаметр молекулы), а

n

— концентрация молекул .

Примеры

В следующей таблице приведены типичные значения длины свободного пробега молекул воздуха при комнатной температуре для различных давлений.

Диапазон давления	Давление, Па	Давление, мм.рт.ст.	Концентрация , молекул / см ³	Концентрация , молекул / м ³	Длина свободного пробега
Атмосферное давление	101300	759.8	2.7 × 10 ¹⁹	2.7 × 10 ²⁵	68 нм
Низкий вакуум	30000 — 100	220 — 8×10 ⁻¹	10 ¹⁹ — 10 ¹⁶	10 ²⁵ — 10 ²²	0.1 — 100 мкм
Средний вакуум	100 — 10 ⁻¹	8×10 ⁻¹ — 8×10 ⁻⁴	10 ¹⁶ — 10 ¹³	10 ²² — 10 ¹⁹	0.1 — 100 мм
Высокий вакуум	10 ⁻¹ — 10 ⁻⁵	8×10 ⁻⁴ — 8×10 ⁻⁸	10 ¹³ — 10 ⁹	10 ¹⁹ — 10 ¹⁵	10 см — 1 км
Сверхвысокий вакуум	10 ⁻⁵ — 10 ⁻¹⁰	8×10 ⁻⁸ — 8×10 ⁻¹³	10 ⁹ — 10 ⁴	10 ¹⁵ — 10 ¹⁰	1 км — 10 ⁵ км
Экстремальный вакуум	<10 ⁻¹⁰	<8×10 ⁻¹³	<10 ⁴	<10 ¹⁰	>10 ⁵ км

См. также

Примечания

Marion Brünglinghaus. (неопр.) . Euronuclear.org . Дата обращения: 26 октября 2020. Архивировано из 5 ноября 2011 года.
Алешкевич В.А. Курс общей физики. Молекулярная физика.. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2016. — С. 281—283. — 312 с. — ISBN 978-5-9221-1696-1 .
Chen, Frank F. . — 1st. — Plenum Press, 1984. — P. . — ISBN 0-306-41332-9 .
Сивухин Д.В. Общий курс физики // Поглощение света и уширение спектральных линий. — Москва, 2005. — С. 582—583. — 792 с. — ISBN ISBN 5-9221-0228-1 .
S. Chapman and T. G. Cowling, от 7 ноября 2020 на Wayback Machine , 3rd. edition, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X , p. 88.
(неопр.) . Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Дата обращения: 8 ноября 2011. 28 октября 2011 года.
Vincenti, W. G. and Kruger, C. H. Introduction to physical gas dynamics. — Krieger Publishing Company, 1965. — P. 414.
S.G Jennings. (англ.) // Journal of Aerosol Science. — 1988-04. — Vol. 19 , iss. 2 . — P. 159–166 . — doi : . 8 марта 2021 года.