Зако́н смеще́ния Ви́на — физический закон, устанавливающий зависимость длины волны , на которой спектральная плотность потока излучения чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году , путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению . Соответствующее смещение пика интенсивности с температурой наблюдалось и экспериментально. В настоящее время закон смещения Вина может быть получен математически из закона Планка .

Общий вид закона смещения Вина

Закон выражается формулой

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}=b/T,}$

где ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$ — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а ${\displaystyle T}$ — температура. Коэффициент ${\displaystyle b={\frac {ch}{k\alpha }}}$ (где c — скорость света в вакууме , h — постоянная Планка , k — постоянная Больцмана , α ≈ 4,965114… — постоянная величина, корень уравнения ${\displaystyle \alpha /5=1-e^{-\alpha }}$ ), называемый постоянной Вина , в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м · К .

Для частоты света ${\displaystyle \nu }$ (в герцах ) закон смещения Вина имеет вид

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\alpha }{h}}kT\approx 5{,}879\times 10^{10}\cdot T,}$

где α ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения ${\displaystyle \alpha /3=1-e^{-\alpha }}$ ), k — постоянная Больцмана , h — постоянная Планка , T — температура (в кельвинах ).

Различие численных постоянных здесь обусловлено различием между показателями степени в планковском распределении, записанном для длины волны и частоты излучения: в одном случае входит ${\displaystyle \lambda ^{-5}}$ , в другом — ${\displaystyle \omega ^{3}\sim \lambda ^{-3}}$ . Это различие, в свою очередь, возникает из-за нелинейности связи между частотой и длиной волны:

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }},\quad {\frac {d}{d\omega }}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2\pi c}}{\frac {d}{d\lambda }}.}$

Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для испускательной способности ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)}$ абсолютно чёрного тела , записанное для длин волн :

${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}.}$

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по ${\displaystyle \lambda }$ и приравнять производную нулю :

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{\lambda }}{\partial \lambda }}={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}\left({\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5\right)=0.}$

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ или когда ${\displaystyle e^{hc/\lambda kT}\to \infty }$ , что выполняется при ${\displaystyle \lambda \to 0}$ . Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка ${\displaystyle B(\lambda )}$ , которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

${\displaystyle {\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5=0.}$

Используя замену переменных ${\displaystyle x={\frac {hc}{kT\lambda }}}$ , данное уравнение можно преобразовать к виду

${\displaystyle {\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5=0.}$

Численное решение этого уравнения даёт

${\displaystyle x=4{,}965114231744276\ldots }$

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка , Больцмана и скорости света , можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{x}}{\frac {1}{kT}}={\frac {2{,}89776829\ldots \times 10^{-3}}{T}},}$

где температура дана в кельвинах , а ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$ — в метрах .

Примеры

Согласно закону смещения Вина, чёрное тело с температурой человеческого тела (~310 K ) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм , что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм . Соответственно, эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону .

См. также

• Абсолютно чёрное тело
• Закон излучения Планка
• Закон Стефана — Больцмана

Примечания

Ссылки

• (англ.)
• Soffer, B. H.; Lynch, D. K. (англ.) // American Journal of Physics : journal. — 1999. — Vol. 67 , no. 11 . — P. 946—953 . — doi : . — Bibcode : .
• Heald, M. A. Where is the 'Wien peak'? (англ.) // American Journal of Physics . — 2003. — Vol. 71 , no. 12 . — P. 1322—1323 . — doi : . — Bibcode : .