Траекто́рия материа́льной то́чки — линия в пространстве , являющаяся множеством геометрических точек, где можно найти материальную точку , в физической задаче . Вид траектории свободной материальной точки зависит от действующих на точку сил , начальных условий движения и от выбора системы отсчёта , а несвободной — также от наложенных связей .

Понятие о траектории имеет смысл и в отрыве от какого-либо реального движения. Но траектория, изображаемая в некоторой системе координат, сама по себе не даёт информации о причинах движения тела по ней, пока не выполнен анализ конфигурации поля действующих на тело сил в той же координатной системе .

Способы задания траектории

Вид траектории не зависит от особенностей её прохождения материальной точкой, поэтому для задания траектории могут применяться не физические законы или модели, а средства дифференциальной геометрии .

Так, траектория иногда задаётся функцией/функциями, связывающ-ей/-ими координаты на линии движения точки:

${\displaystyle x=x_{min}\ldots x_{max}}$ в случае движения по прямой,

${\displaystyle y=y(x)}$ для плоского случая,

${\displaystyle y=y(x)}$ и ${\displaystyle z=z(x)}$ в объёмном случае.

Но здесь необходимы взаимная однозначность связи координат и отсутствие повторного прохождения материальной точкой каких-либо участков. Например, если тело двигалось по отрезку от ${\displaystyle x_{min}}$ до ${\displaystyle x_{max}}$ и назад, то траектория является «двойной» (туда-обратно) линией, что будет упущено при вышеуказанном подходе. Тем не менее, такое координатное задание траектории во многих простых ситуациях удобно.

В общем случае движение материальной точки в кинематике описывается зависимостью радиус-вектора от времени:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(t)}$ .

Такая зависимость представляет траекторию, давая избыток информации — кроме формы прочерчиваемой точкой геометрической линии, имея ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ , можно получить скорость и другие параметры движения. Задание ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ подразумевает задание изменений трёх декартовых координат во времени:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {i}}}$ , ${\displaystyle {\vec {j}}}$ , ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — орты . Присутствие здесь времени ${\displaystyle t}$ , казалось бы, противоречит независимости траектории от деталей движения по ней, но на самом деле для задания именно траектории на место ${\displaystyle t}$ в выражениях ${\displaystyle x(t)}$ , ${\displaystyle y(t)}$ , ${\displaystyle z(t)}$ можно подставлять любую взаимно однозначную функцию ${\displaystyle T(t)}$ . Произвол не скажется на форме траектории, а будет «менять» скорость прохождения: скажем, при замене ${\displaystyle t}$ на ${\displaystyle T=2t}$ скорость во всех точках траектории удвоится.

В выбранной системе отсчета, кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве, может быть представлена в виде сопряжённых дуг различной кривизны , находящихся в общем случае в пересекающихся плоскостях . При этом кривизна каждой дуги определяется её радиусом кривизны (не путать с радиус-вектором ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ), направленным к дуге из мгновенного (не путать с началом отсчета радиус-векторов), находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. Прямая линия рассматривается как предельный случай кривой , радиус кривизны которой может считаться равным бесконечности .

Траектория и смежные понятия

• Закон движения — зависимость радиус-вектора точки от времени ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ ;
• Путь — криволинейная координата вдоль траектории материальной точки (обычно обозначается символом ${\displaystyle S}$ );
• Длина пути — длина траектории , вычисляемая как

${\displaystyle \Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|{\dot {\vec {r}}}(t)|dt}$ ,

где цифры 1 и 2 маркируют начальное и конечное положения точки, соответственно;

• Перемещение — вектор из начального положения точки в конечное

${\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}$ ,

при этом всегда ${\displaystyle \Delta S\geq |\Delta {\vec {r}}|}$ ;

• Радиус кривизны — радиус дуги окружности, наилучшим образом аппроксимирующей траекторию в заданной точке.

Скорость материальной точки всегда направлена по касательной к дуге, используемой для описания траектории. При этом существует связь между величиной скорости ${\displaystyle v}$ , нормальным ускорением ${\displaystyle a_{n}}$ и радиусом кривизны траектории ${\displaystyle R}$ в конкретной геометрической точке:

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}}$ .

Не всякое движение с известной скоростью по кривой известного радиуса и найденное по приведённой выше формуле нормальное (центростремительное) ускорение связано с проявлением силы, направленной по нормали к траектории ( центростремительной силы ). Так, найденное по данным фотографии суточного движения светил ускорение любой из звёзд отнюдь не говорит о существовании вызывающей это ускорение силы, притягивающей её к Полярной звезде как центру вращения.

Траектория и уравнения динамики

Представление траектории как следа, оставляемого движением материальной точки, связывает чисто кинематическое понятие о траектории, как геометрической проблеме, с динамикой движения материальной точки, то есть проблемой определения причин её движения. Фактически, решение уравнений Ньютона (при наличии полного набора исходных данных) даёт траекторию материальной точки.

Движение свободной материальной точки

В соответствии с первым законом Ньютона , иногда называемым законом инерции , должна существовать такая система, в которой свободное тело сохраняет (как вектор) свою скорость. Такая система отсчёта называется инерциальной . Траекторией такого движения является прямая линия , а само движение называется равномерным и прямолинейным.

Движение под действием внешних сил

в инерциальной системе отсчёта

Если в инерциальной системе скорость ${\displaystyle {\vec {v}}}$ движения объекта ( для неподвижного в данной системе наблюдателя ) с массой ${\displaystyle m}$ меняется по направлению, даже оставаясь прежней по величине, то есть тело производит поворот и движется по дуге с радиусом кривизны ${\displaystyle R}$ , то значит, это тело испытывает нормальное ускорение ${\displaystyle a_{n}}$ . Причиной, вызывающей это ускорение, является центростремительная сила, прямо пропорциональная этому ускорению. В этом состоит суть второго закона Ньютона :

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{n}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {F}}}$ есть векторная сумма сил, действующих на тело, ${\displaystyle {\vec {a}}_{n}}$ — его ускорение, а ${\displaystyle m}$ — инертная масса .

В общем случае тело не бывает свободно в своём движении, и на его положение, а в некоторых случаях и на скорость , налагаются ограничения — связи . Если связи накладывают ограничения только на координаты тела, то такие связи называются геометрическими. Если же они распространяются и на скорости, то они называются кинематическими. Если уравнение связи может быть проинтегрировано во времени, то такая связь называется голономной .

Действие связей на систему движущихся тел описывается силами, называемыми реакциями связей. В таком случае сила, входящая в левую часть выражения закона Ньютона, есть векторная сумма активных (внешних) сил и реакции связей.

Существенно, что в случае голономных связей становится возможным описать движение механических систем в обобщённых координатах , входящих в уравнения Лагранжа . Число этих уравнений зависит лишь от числа степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему тел, положение которых необходимо определять для полного описания движения.

Если же связи, действующие в системе , то есть в них не происходит переход энергии движения в другие виды энергии, то при решении уравнений Лагранжа автоматически исключаются все неизвестные реакции связей.

Наконец, если действующие силы принадлежат к классу потенциальных , то при соответствующем обобщении понятий становится возможным использования уравнений Лагранжа не только в механике, но и других областях физики.

Действующие на материальную точку силы в этом понимании однозначно определяют форму траектории её движения (при известных начальных условиях). Обратное утверждение в общем случае несправедливо, поскольку одна и та же траектория может иметь место при различных комбинациях активных сил и реакций связи.

в неинерциальной системе отсчёта

Если система отсчёта неинерциальна (то есть движется с неким ускорением относительно инерциальной системы отсчёта), то в ней также возможно использование закона Ньютона, однако в левой части необходимо учесть так называемые силы инерции (в том числе, центробежную силу и силу Кориолиса , связанные с вращением неинерциальной системы отсчёта) .

Значимость выбора системы отсчёта

Уточнение о «привязке» траектории к выбору координатной системы принципиально, так как форма траектории зависит от этого выбора . Качественные и количественные различия траекторий возникают и между инерциальными системами, и если одна или обе системы неинерциальны.

Наблюдаемость траектории

Возможно наблюдение траектории при неподвижности объекта, но при движении системы отсчёта. Так, звёздное небо может послужить хорошей моделью инерциальной и неподвижной системы отсчёта. Однако при длительной экспозиции эти звёзды представляются движущимися по круговым траекториям.

Возможен и противоположный случай, когда тело явно движется, но траектория в проекции на плоскость наблюдения является одной неподвижной точкой. Это, например, случай летящей прямо в глаз наблюдателя пули или уходящего от него поезда.

Модификация формы траектории

Нередко оказывается, что форма траектории зависит от системы отсчёта , избранной для описания движения материальной точки радикальным образом. Так, прямолинейное равноускоренное движение (скажем, свободое падение) в одной инерциальной системе в общем случае будет параболическим в другой равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта (см. рис.).

В соответствии с принципом относительности Галилея , существует бесконечное множество равноправных инерциальных систем (ИСО), движение которых одна относительно другой не может быть установлено никаким образом путём наблюдения любых процессов и явлений, происходящих только в этих системах. Прямая траектория равномерного движения объекта в одной системе будет выглядеть также прямой в любой другой инерциальной системе, хотя величина и направление скорости будут зависеть от выбора системы, то есть от величины и направления их относительной скорости.

Вместе с тем Принцип Галилея не утверждает , что одно и то же явление, наблюдаемое из двух разных ИСО, будут выглядеть одинаково. Поэтому рисунок предупреждает о двух типичных ошибках, связанных с забвением того, что:

1. Истинно, что любой вектор (в том числе вектор силы) может быть разложен по крайней мере на две составляющие. Но это разложение совершенно произвольно и не значит, что такие компоненты существуют в действительности. Для подтверждения их реальности должна привлекаться дополнительная информация , в любом случае не взятая из анализа формы траектории. Например, по рисунку 2 невозможно определить природу силы F, так же как невозможно утверждать, что она сама является или не является суммой сил разной природы. Можно лишь утверждать, что на изображённом участке она постоянна, и что для формирования наблюдаемой в данной СО криволинейности траектории служит вполне определённая в данной СО центростремительная часть этой силы. Зная лишь траекторию материальной точки в какой-либо инерциальной системе отсчёта и её скорость в каждый момент времени, нельзя определить природу сил, действовавших на неё.

2. Даже в случае наблюдения из ИСО, форма траектории ускоренно движущегося тела будет определяться не только действующими на него силами, но и выбором этой ИСО, никак на эти силы не влияющим. Центростремительная сила , показанная на рисунке 2, получена формально, и её величина непосредственно зависит от выбора ИСО.

Пример для вращающейся системы

Представим себе работника театра, передвигающегося в над сценой по отношению к зданию театра равномерно и прямолинейно и несущего над вращающейся сценой дырявое ведро с краской. Он будет оставлять на ней след от падающей краски в форме раскручивающейся спирали (если движется от центра вращения сцены) и закручивающейся — в противоположном случае. В это время его коллега, отвечающий за чистоту вращающейся сцены и на ней находящийся, будет поэтому вынужден нести под первым недырявое ведро, постоянно находясь под первым. И его движение по отношению к зданию также будет равномерным и прямолинейным , хотя по отношению к сцене, которая является неинерциальной системой , его движение будет искривлённым и неравномерным . Более того, для того, чтобы противодействовать сносу в направлении вращения, он должен мышечным усилием преодолевать действие силы Кориолиса , которое не испытывает его верхний коллега над сценой, хотя траектории обоих в инерциальной системе здания театра будут представлять прямые линии .

Но можно себе представить, что задачей рассматривающихся здесь коллег является именно нанесение прямой линии на вращающейся сцене . В этом случае нижний должен потребовать от верхнего движения по кривой, являющейся зеркальным отражением следа от ранее пролитой краски,оставаясь при этом над любой точкой прямой, проходящей в избранном радиальном направлении. Следовательно, прямолинейное движение в неинерциальной системе отсчёта не будет являться таковым для наблюдателя в инерциальной системе .

Более того, равномерное движение тела в одной системе, может быть неравномерным в другой. Так, две капли краски, упавшие в разные моменты времени из дырявого ведра, как в собственной системе отсчёта, так и в системе неподвижного по отношению к зданию нижнего коллеги (на уже прекратившей вращение сцене), будут двигаться по прямой (к центру Земли). Различие будет заключаться в том, что для нижнего наблюдателя это движение будет ускоренным , а для верхнего его коллеги, если он, оступившись, будет падать , двигаясь вместе с любой из капель, расстояние между каплями будет увеличиваться пропорционально первой степени времени, то есть взаимное движение капель и их наблюдателя в его ускоренной системе координат будет равномерным со скоростью ${\displaystyle v=g\Delta t}$ , определяемой задержкой ${\displaystyle \Delta t}$ между моментами падения капель; здесь ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения .

Поэтому форма траектории и скорость движения по ней тела, рассматриваемая в некоторой системе отсчёта, о которой заранее ничего не известно , не даёт однозначного представления о силах, действующих на тело. Решить вопрос о том, является ли эта система в достаточной степени инерциальной, можно лишь на основе анализа причин возникновения действующих сил.

Таким образом, в неинерциальной системе, во-первых, кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями, а во-вторых, прямолинейность траектории является недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело не действуют никакие силы.

Бестраекторное движение

Согласно квантовомеханическим представлениям, в отношении движения микрочастицы (электрона или другой) в ограниченном пространстве следует говорить не о траектории ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ , а об эволюции плотности вероятности обнаружить частицу в заданной точке ${\displaystyle {\vec {r}}}$ . Эта плотность вероятности характеризуется квадратом модуля волновой функции ${\displaystyle |\psi ({\vec {r}},t)|^{2}}$ . Зависимость ${\displaystyle \psi }$ от её аргументов определяется с помощью уравнения Шрёдингера . Располагая волновой функцией, можно найти меняющееся со временем положение «центроида» ${\displaystyle <{\vec {r}}(t)>=\int {\vec {r}}|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}dV}$ (интегрирование – по всему доступному частице объёму). В пределе, когда длина волны де Бройля частицы несопоставимо меньше размера пространственной области движения, такой подход становится эквивалентным привычному расчёту траектории.

См. также

• Сложное движение

Примечания

В физике есть ещё одна формула измерения траектории (пути): s=4Atv, где A - амплитуда, t - время, v - частота колебаний

Литература

• Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. и прим. А. Н. Крылова. М.: Наука, 1989
• Фриш С. А. и Тиморева А. В. Курс общей физики, Учебник для физико-математических и физико-технических факультетов государственных университетов, Том I. М.: ГИТТЛ, 1957

Ссылки

• ^{[ неавторитетный источник ]}