Кинема́тика (от др.-греч. κίνημα — «движение», род. п. κινήματος ) в физике — раздел механики , изучающий математическое описание (средствами геометрии , алгебры , математического анализа …) движения идеализированных тел ( материальная точка , абсолютно твердое тело , идеальная жидкость ), без рассмотрения причин движения ( массы , сил и т. д.) . Исходные понятия кинематики — пространство и время . Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения механического движения занимается другой раздел механики — динамика .

Различают классическую кинематику, в которой пространственные (длины отрезков) и временные (промежутки времени) характеристики движения считаются абсолютными, то есть не зависящими от выбора системы отсчёта, и релятивистскую . В последней длины отрезков и промежутки времени между двумя событиями могут изменяться при переходе от одной системы отсчёта к другой. Относительной становится также одновременность. В релятивистской механике вместо отдельных понятий пространство и время вводится понятие пространства-времени , в котором инвариантным относительно преобразований Лоренца является величина, называемая интервалом .

История кинематики

Долгое время понятия о кинематике были основаны на работах Аристотеля , в которых утверждалось, что скорость падения пропорциональна весу тела, а движение в отсутствие сил невозможно. Только в конце XVI века этим вопросом подробно занялся Галилео Галилей . Изучая свободное падение (знаменитые опыты на Пизанской башне ) и инерцию тел, он доказал неправильность идей Аристотеля. Итоги своей работы по данной теме он изложил в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению» .

Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года . Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде .

В XVIII веке Ампер первый использовал вариационное исчисление в кинематике.

После создания СТО , показывающей, что время и пространство не абсолютны и скорость имеет принципиальное ограничение, кинематика вошла в новый этап развития в рамках релятивистской механики (см. Релятивистская кинематика ).

Основные понятия кинематики

• Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени . При этом тела взаимодействуют по законам механики .
• Система отсчёта — сопоставленная с континуумом реальных или воображаемых тел отсчёта система координат и прибор(ы) для измерения времени (часы). Используется для описания движения .
• Координаты — способ определения положения точки или тела с помощью чисел или других символов.
• Радиус-вектор используется для задания положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат .
• Траектория — непрерывная линия , которую описывает точка при своём движении.
• Скорость — векторная величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта .
• Ускорение — векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени.
• Угловая скорость — векторная величина, характеризующая скорость вращения тела.
• Угловое ускорение — величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости .

Задачи кинематики

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движение рассматривается в определённой системе отсчёта . Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).

Положение точки (или тела) относительно заданной системы отсчёта определяется некоторым количеством взаимно независимых функций координат:

${\displaystyle p_{1}=f_{1}(t)}$

${\displaystyle p_{2}=f_{2}(t)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle p_{\mathrm {n} }=f_{\mathrm {n} }(t)}$ ,

где ${\displaystyle n}$ определяется количеством степеней свободы . Так как точка не может быть в нескольких местах одновременно, все функции ${\displaystyle f_{i}(t)}$ должны быть однозначными. Также в классической механике выдвигается требование их дифференцируемости на промежутках. Производные этих функций определяют скорость тела .

Скорость движения определяется как производная координат по времени:

${\displaystyle v_{1}={\frac {dp_{1}(t)}{dt}}}$

${\displaystyle v_{2}={\frac {dp_{2}(t)}{dt}}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle v_{n}={\frac {dp_{n}(t)}{dt}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {\tau }}_{1}+v_{2}{\vec {\tau }}_{2}+....+v_{n}{\vec {\tau }}_{n}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {\tau }}_{i}}$ — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих координат.

Ускорение определяется как производная скорости по времени:

${\displaystyle {\vec {a}}={d{{\vec {v}}(t)} \over dt}}$

Следовательно, характер движения можно определить, зная зависимость скорости и ускорения от времени. А если кроме этого известны ещё и значения скорости/координат в определённый момент времени, то движение полностью задано.

Деление кинематики по типам объекта исследования

В зависимости от свойств изучаемого объекта, кинематика делится на кинематику точки , кинематику твёрдого тела , , , и т. д.

Кинематика точки

Основная статья: Кинематика точки

Кинематика точки изучает движение материальных точек — тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с характерными размерами изучаемого явления. Поэтому в кинематике точки скорость, ускорение, координаты всех точек тела считаются равными.

Частные случаи движения в кинематике точки:

• Если ускорение равно нулю, движение прямолинейное (траектория представляет собой прямую ) и равномерное (скорость постоянна).

${\displaystyle {\vec {a}}=0}$

${\displaystyle {\vec {v}}=\mathrm {c} onst}$

${\displaystyle p_{1}(t)=p_{1}(0)+v_{1}t}$

${\displaystyle p_{2}(t)=p_{2}(0)+v_{2}t}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle p_{n}(t)=p_{n}(0)+v_{n}t}$

${\displaystyle s=\mid {\vec {v}}\mid (t_{1}-t_{2})}$ ,

где ${\displaystyle s}$ — длина пути траектории за промежуток времени от ${\displaystyle t_{2}}$ до ${\displaystyle t_{1}}$ , ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ — проекции ${\displaystyle {\vec {v}}}$ на соответствующие оси координат.

• Если ускорение постоянно и лежит в одной прямой со скоростью, движение прямолинейное, равнопеременное ( равноускоренное , если ускорение и скорость направлены в одном направлении; равнозамедленное — если в разные).

${\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {c} onst}$

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}(0)+{\vec {a}}t}$

${\displaystyle p_{1}(t)=p_{1}(0)+v_{1}(0)t+{\frac {a_{1}t^{2}}{2}}}$

${\displaystyle p_{2}(t)=p_{2}(0)+v_{2}(0)t+{\frac {a_{2}t^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle p_{n}(t)=p_{n}(0)+v_{n}(0)t+{\frac {a_{n}t^{2}}{2}}}$

${\displaystyle s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mid {\vec {v}}(t)\mid dt}$ ,

где ${\displaystyle s}$ — длина пути траектории за промежуток времени от ${\displaystyle t_{2}}$ до ${\displaystyle t_{1}}$ , ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ — проекции ${\displaystyle {\vec {v}}}$ на соответствующие оси координат, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ — проекции ${\displaystyle {\vec {a}}}$ на соответствующие оси координат.

• Если ускорение постоянно и перпендикулярно скорости, движение происходит по окружности — вращательное движение .

${\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {v}}}$

${\displaystyle \mid {\vec {a}}\mid ={\frac {{\mid {\vec {v}}\mid }^{2}}{R}}}$

${\displaystyle s=\mid {\vec {v}}\mid (t_{1}-t_{2})}$ ,

где ${\displaystyle R}$ — радиус окружности, по которой движется тело.

Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы центр координат был в центре окружности, по которой движется точка, оси y и x лежали в плоскости этой окружности, так чтобы движение осуществлялось против часовой стрелки, то значения координат можно вычислить по формулам:

${\displaystyle y=R\sin {\Bigg (}{\frac {\mid {\vec {v}}\mid }{R}}t+\arcsin {\Big (}{\frac {y(0)}{R}}{\Big )}{\Bigg )}}$

${\displaystyle x=R\cos {\Bigg (}{\frac {\mid {\vec {v}}\mid }{R}}t+\arccos {\Big (}{\frac {x(0)}{R}}{\Big )}{\Bigg )}}$

${\displaystyle z=0}$

Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света , и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.

• Если ускорение постоянно и не лежит на одной прямой с начальной скоростью, движение параболическое .

${\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {c} onst}$

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}(0)+{\vec {a}}t}$

${\displaystyle s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mid {\vec {v}}(t)\mid dt}$

Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы ускорение и начальная скорость лежали в плоскости xy и ускорение было сонаправленно с осью y , то значения координат можно вычислить по формулам:

${\displaystyle y(t)=y(0)+v_{y}(0)t+{\frac {\mid {\vec {a}}\mid t^{2}}{2}}}$

${\displaystyle x(t)=x(0)+v_{x}(0)t}$

${\displaystyle z=0}$ ,

где ${\displaystyle v_{y}}$ и ${\displaystyle v_{x}}$ — проекции ${\displaystyle {\vec {v}}}$ на соответствующие оси.

Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света , и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.

• Если тело выполняет разные движения в разных направлениях, то эти движения могут рассчитываться отдельно и складываться по принципу суперпозиции . Например, если в одной плоскости тело совершает вращательное движение, а по оси, перпендикулярной этой плоскости — равномерное поступательное, то вид движения — винтовая линия с постоянным шагом.

• В общем виде скорость, ускорение и координаты вычисляются по общим формулам (см. ), путь вычисляется по формуле:

${\displaystyle s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mid {\vec {v}}(t)\mid dt}$

Кинематика твёрдого тела

Кинематика твёрдого тела изучает движение абсолютно твёрдых тел ( тел , расстояние между двумя любыми точками которого не может изменяться).

Так как любое тело ненулевого объёма имеет бесконечное число точек, и соответственно бесконечное число фиксированных связей между ними, тело имеет 6 степеней свободы и его положение в пространстве определяется шестью координатами (если нет дополнительных условий).

Связь скорости двух точек твердого тела выражается через формулу Эйлера:

${\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ — вектор угловой скорости тела.

Кинематика деформируемого тела, Кинематика жидкости

Основные статьи: Кинематика деформируемого тела ,

Кинематика деформируемого тела и кинематика жидкости относятся к кинематике непрерывной среды .

Кинематика газа

Кинематика газа изучает деление газа на скопления при движении и описывает движение этих скоплений. В рамках кинематики газа описываются не только основные параметры движения, но и типы движения газа.

Примечания

Литература

• Алешкевич В. А. , Деденко Л. Г. , Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. — М. : Изд-во Физического факультета МГУ, 1997.
• Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392 с.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560с.
• Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975.
• Яворский Б. М. , Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов (4-е изд.). — М.: Наука, 1968.