Квадрату́ра ( лат. quadratura , придание квадратной формы) — математический термин, первоначально обозначавший нахождение площади какой-либо фигуры или поверхности . В дальнейшем смысл термина постепенно менялся . Задачи квадратуры послужили одним из главных источников возникновения в конце XVII века математического анализа .

В античные времена под проведением квадратуры понималось построение с помощью циркуля и линейки квадрата , равновеликого заданной фигуре (то есть имеющего такую же площадь). Примеры: квадратура круга или гиппократовы луночки . В качестве основного метода анализа тогда был принят метод исчерпывания Евдокса .

В средневековой Европе под проведением квадратуры понималось вычисление площади заданной области — например, площади арки циклоиды . Для этого чаще всего использовался метод неделимых .

С появлением интегрального исчисления вычисление площади свелось к интегрированию, и термин « квадратура » стал пониматься как синоним термина « интеграл » ( определённый или неопределённый ). « Стало обычным вычисление интеграла называть квадратурой » .

В настоящее время термин употребляется редко, в основном в следующих устойчивых словосочетаниях:

• « квадратурные формулы » — формулы для оценки значения определённого интеграла;
• « привести к квадратурам » (« выразить в квадратурах », « решить в квадратурах ») — выразить решение дифференциального уравнения в виде интеграла от комбинаций элементарных функций , т.е. в виде ${\displaystyle y=\int f(x)\ dx}$ , где ${\displaystyle f(x)}$ является элементарной функцией или конечной их комбинацией.

Исторический очерк

Математики Древней Греции , в соответствии с пифагорейской доктриной, понимали определение площади фигуры как построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данной фигуре. Отсюда и происходит термин «квадратура».

Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b надо построить квадрат со стороной ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$ ( среднее геометрическое a и b ). Для этого можно использовать следующий факт: если построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, то высота BH (см. рисунок), восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст их среднее геометрическое . Аналогичная геометрическая конструкция решает задачу квадратуры параллелограмма и треугольника . В общем виде задача квадратуры многоугольника решается в « Началах » Евклида (предложение 45 книги I и предложение 14 книги II).

Гораздо сложнее оказались задачи квадратуры криволинейных фигур. Квадратура круга , как окончательно было доказано в XIX веке (см. доказательство ), с помощью циркуля и линейки невозможна. Однако для некоторых фигур (например, для гиппократовых луночек ) квадратуру всё же удалось провести. Высшим достижением античного анализа стали проведенные Архимедом квадратуры поверхности сферы и сегмента параболы :

• площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого круга этой сферы;
• площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Для доказательства Архимед использовал восходящий к Евдоксу « метод исчерпывания ». Надо отметить, что результат Архимеда для поверхности сферы уже выходит за пределы пифагорейского определения, так как не сводится к явному построению квадрата.

В XVII веке появился « метод неделимых », менее строгий, но более простой и мощный, чем метод исчерпывания. С его помощью Галилей и Роберваль нашли площадь арки циклоиды , а фламандец Грегуар де Сен-Венсан исследовал площадь под гиперболой (« Opus Geometricum », 1647 год), причём Сараса ( фр. Alphonse Antonio de Sarasa ), ученик и комментатор де Сен-Венсана, уже отметил связь этой площади с логарифмами . Джон Валлис провёл алгебраизацию метода: в своей книге « Арифметика бесконечных » (1656 год) он описал построение числовых рядов, которые теперь называются интегральными суммами , и нашёл эти суммы. Техника Валлиса получила дальнейшее развитие в трудах Исаака Барроу и Джеймса Грегори ; были получены квадратуры для множества алгебраических кривых , а также спиралей . Гюйгенс успешно провёл квадратуру ряда поверхностей вращения ; в частности, в 1651 году он опубликовал труд о квадратуре конических сечений под названием «Рассуждения о квадратуре гиперболы, эллипса и круга».

Дальнейшее развитие темы было связано с появлением интегрального исчисления , которое дало универсальный метод для вычисления площади. В связи с этим термин « квадратура » стал постепенно выходить из употребления, а в тех случаях, когда он использовался, стал синонимом термина « интеграл ». Небезынтересно, что Исаак Ньютон пытался вместо привычного для нас, лейбницевского обозначения интеграла, ввести свой символ — квадрат, который ставился перед интегрируемой функцией или содержал её внутри себя .

См. также

• Квадратриса
• Квадратура круга
• Численное интегрирование
• Список квадратурных формул

Литература

• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования . — М. : Физматгиз , 1958. — № 11 . — С. 225—440 .
• Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М. : Иностранная литература, 1963.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

Ссылки

• Бендукидзе А. Д. Квант, 1971, № 7, стр. 7-10.

Примечания