Векторное управление
- 1 year ago
- 0
- 0
Ве́кторное по́ле — это отображение , которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени различен в разных точках и может быть описан векторным полем.
Векторное поле на евклидовом (или псевдоевклидовом ) пространстве определяется как вектор-функция точки пространства, отображающая это пространство в (на) себя :
То есть, каждой точке пространства сопоставляется некоторый вектор (значение векторного поля в данной точке пространства). В общем случае этот вектор различается для разных точек пространства, то есть в общем случае векторное поле принимает разные значения в разных точках пространства. В каждой точке пространства вектор поля имеет определенную величину и определенное (за исключением тех случаев, когда поле обращается в ноль) направление в этом пространстве .
В более общем случае, когда исходное пространство является многообразием , векторное поле определяется как сечение касательного расслоения к данному многообразию, то есть отображение, которое каждой точке ставит в соответствие вектор из касательного пространства в .
Векторное поле на многообразии есть линейный оператор удовлетворяющий правилу произведения:
для произвольных .
В физике термин векторное поле , кроме общего значения, описанного выше, имеет специальное значение, в основном в отношении фундаментальных полей ( ). Смысл этого употребления сводится к тому, что фундаментальные физические поля классифицируются по природе их потенциала, и один из таких типов — векторные поля (как электромагнитное или глюонное поля).
Обозначается векторное поле обычно просто в соответствии с соглашениями, принятыми для векторов
Нередко явно указывается зависимость от точки пространства , например:
или
Достаточно обычно задание векторного поля как функции координат в пространстве, на котором поле задано, например:
или (для поля, зависящего от времени):
Термин поле (вместе с понятием силовых линий поля ) ( англ. field, lines of force ) ввёл в физику Майкл Фарадей около 1830 г. при исследовании электромагнитных явлений .
Основы аналитической теории силовых полей разработали Максвелл , Гиббс и Хевисайд во второй половине XIX века.
Любую вещественнозначную функцию вещественного переменного можно интерпретировать как одномерное векторное поле.
Если — радиус-вектор , который в заданной системе координат имеет вид , то векторное поле описывается вектор-функцией вида
Если — радиус-вектор , который в заданной системе координат имеет вид , то векторное поле описывается вектор-функцией вида
В трёхмерном пространстве имеют смысл следующие характеристики векторного поля
где точка означает скалярное произведение, — векторный элемент криволинейного пути, вдоль которого происходит интегрирование, — проекция на (положительную) касательную к криволинейному пути, — скалярный элемент пути (элемент длины), C — конкретная кривая — путь интегрирования (обычно полагаемая достаточно гладкой). Пожалуй, простейшим физическим прообразом такого интеграла является работа силы , действующей на точку при перемещении точки по заданному пути.
— интеграл по замкнутому контуру:
где подынтегральное выражение совпадает с описанным чуть выше, а отличие состоит в пути интегрирования C , который в данном случае по определению замкнут, что обозначается кружком на знаке интеграла.
через поверхность S определяется как интеграл по S :
где — проекция вектора поля на нормаль к поверхности, — «векторный элемент поверхности», определяемый, как вектор единичной нормали, умноженный на элемент площади . Простейшим примером этой конструкции является объём жидкости, проходящий через поверхность S , при её течении со скоростью F .
Аналогом производной для векторного поля выступает тензор частных производных ( якобиан ), который в декартовых координатах имеет вид
— след такого тензора производных. Она не зависит от системы координат (является инвариантом преобразований координат, скаляром ), а в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле
Это же выражение можно записать с использованием символического оператора набла :
Теорема Остроградского — Гаусса позволяет вычислить поток векторного поля с помощью объёмного интеграла от дивергенции поля.
— векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами
где i , j и k — единичные орты для осей x , y и z соответственно.
Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение :
— важнейшая и простейшая операция, позволяющая получить векторное поле из скалярного поля . Полученное применением такой операции к скалярному полю f векторное поле называется градиентом f :
или, записывая с помощью наблы :
Векторное поле, дивергенция которого всюду равна нулю, называется соленоидальным ; оно может быть представлено как ротор некоторого другого векторного поля.
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным ( безвихревым ); оно может быть представлено как градиент некоторого скалярного поля (потенциала).
Имеет место теорема Гельмгольца : если всюду в области D у векторного поля определены дивергенция и ротор, то это поле может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального поля.
Векторное поле, у которого и дивергенция, и ротор всюду равны нулю, называется гармоническим ; его потенциал представляет собой гармоническую функцию .
Интегральной кривой (также — векторной линией , для силовых полей — силовой линией , для поля скорости движения жидкости или газа — линией тока ; первые термины являются общими, остальные — их синонимами в зависимости от контекста) для поля называется кривая , касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:
Для силовых полей силовые линии наглядно показывают направление воздействия полевых сил.
Если в достаточно малой области пространства поле нигде не обращается в нуль, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна силовая линия. Точки, где вектор поля нулевой — особые, в них направление поля не определено, и поведение силовых линий в окрестности этих точек может быть различным: возможно, через особую точку проходит бесконечно много силовых линий, но возможно, что не проходит ни одна.
Векторное поле называется полным , если его интегральные кривые определены на всём многообразии.
Все перечисленные для векторных полей в трёхмерном пространстве конструкции и свойства непосредственно обобщаются на любую конечную размерность пространства n .
При этом большинство таких обобщений вполне тривиальны, за исключением определения ротора , для корректного построения которого в произвольном n -мерном случае, в отличие от трёхмерного, приходится воспользоваться внешним , а не векторным (которое определено лишь для трёхмерного случая) произведением. При n = 2 соответствующая операция принимает вид псевдоскалярного произведения .
Кроме того, в случае произвольного n нужна определённая аккуратность c определением потока. Основные определения оказываются полностью аналогичными для потока через гиперповерхность размерности ( n − 1).
В физике типичными примерами векторного поля являются силовые поля (силовое поле — поле некоторой силы (зависящей от положения в пространстве тела, на которое эта сила действует) или тесно связанной с силой напряжённости поля ).
Другие типичные примеры — поле скорости (например, скорости течения жидкости или газа), поле смещений (например, в деформированной упругой среде) и многие другие , например, вектор плотности тока , вектор потока энергии или плотности потока каких-то материальных частиц (например, при диффузии), вектор градиента температуры, концентрации или давления и так далее.
Несколько подробнее:
Исторически гидродинамика оказала огромное влияние на формирование основных конструкций векторного анализа и самой его терминологии. Так, гидродинамическое происхождение имеют такие понятия, как
а также, в той или иной мере, и многие другие (практически каждое из них имеет если не гидродинамическое происхождение, то гидродинамическую интерпретацию).
В целом в физике термин векторное поле имеет то же значение, что и в математике, описанное выше. В этом смысле, векторным полем можно назвать любую векторнозначную физическую величину, являющуюся функцией точки пространства, зачастую зависящую также и от времени.
Однако существует и специфический случай применения этого термина, встречающийся главным образом в классификации фундаментальных физических полей. В этом случае слова «векторное поле» подразумевают, что векторным полем ( 4-векторное или более высокой размерности, если мы имеем дело с абстрактными многомерными теоретическими моделями) является наиболее фундаментальная величина — потенциал , а не её производные (напряженность поля и тому подобное). Так, например, к векторным полям относят электромагнитное поле , потенциал которого является 4-векторным полем, в то время как его напряженность с современной точки зрения есть тензор . Гравитационное поле называют в этом смысле тензорным, поскольку его потенциал есть тензорное поле .
Практическим синонимом слова «векторное поле» в этом смысле является в современной физике термин (также, разводя эти близкие понятия, о векторной частице говорят как о возбуждении векторного поля, или, выражаясь несколько более традиционно — векторная частица есть квант векторного поля). Ещё один практический синоним — частица спина 1 или поле спина 1 .
Из фундаментальных полей к векторным (в указанном смысле) относятся электромагнитное ( фотонное ), глюонное (поле сильных взаимодействий ), а также поле массивных векторных бозонов — переносчиков слабого взаимодействия . Гравитационное же поле, в отличие от перечисленных, является полем тензорным .
С рассмотренной классификацией (классификацией по спину фундаментального бозонного поля) непосредственно связаны некоторые свойства соответствующего поля, например, притягиваются или отталкиваются при взаимодействии посредством этого поля частицы одинакового заряда (относящегося к данному типу взаимодействия), одинаков или противоположен такой заряд у частиц и античастиц. Частицы, взаимодействующие посредством векторного поля отталкиваются при одинаковом заряде, а притягиваются при противоположном, а пара частица — античастица имеет противоположный друг другу заряд (как, в частности, в случае электромагнитного поля) — в противоположность свойствам гравитационного поля и гравитационных зарядов.