Числа Бетти — последовательность инвариантов топологического пространства . Каждому пространству ${\displaystyle X}$ соответствует некая последовательность чисел Бетти ${\displaystyle \beta _{0}(X),\beta _{1}(X),\dots }$ .

• Нулевое число Бетти ${\displaystyle \beta _{0}(X)}$ совпадает с числом связных компонент;
• Первое число Бетти ${\displaystyle \beta _{1}(X)}$ интуитивно представляет собой максимальное число разрезов этого пространства, которые можно сделать без увеличения числа компонент связности.

Число Бетти может принимать неотрицательные целые значения или бесконечность . Для разумно устроенного конечномерного пространства (например, компактного многообразия или конечного симплициального комплекса ), все числа Бетти конечны и, начиная с некоторого номера, равны нулю.

Термин «числа Бетти» был введен Анри Пуанкаре , который назвал их в честь итальянского математика Энрико Бетти .

Определение

• k -е число Бетти ${\displaystyle \beta _{k}(X)=}$ rank ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ,

где ${\displaystyle H_{k}(X)}$ — k -я группа гомологий пространства X , которая является абелевой , rank обозначает ранг этой группы.

Эквивалентно, можно определить его как размерность векторного пространства H _k ( X ; Q ), поскольку группа гомологий в этом случае является векторным пространством над Q :

• ${\displaystyle \beta _{k}(X)=}$ dim H _k ( X ; Q )

Эквивалентность этих определений в простых случаях показывает теорема об универсальных коэффициентах .

В более общих случаях для данного поля F можно определить ${\displaystyle \beta _{k}(X,F)}$ , k -е число Бетти с коэффициентами в F , как размерность векторного пространства H _k ( X , F ).

Связанные определения

• Функция Пуанкаре пространства X — это производящая функция последовательности чисел Бетти пространства X :

  ${\displaystyle P_{X}(z)=\beta _{0}(X)+\beta _{1}(X)z+\beta _{2}(X)z^{2}+\cdots .}$

Первое число Бетти в теории графов

В топологической теории графов первое число Бетти графа G с n вершинами, m ребрами и k компонентами связности равно

${\displaystyle \beta _{1}(G)=m-n+k.\ }$

Это может быть доказано непосредственно математической индукцией по числу ребер. Новое ребро либо увеличивает количество 1-циклов либо уменьшает число компонент связности .

Первое число Бетти графа совпадает с цикломатическим числом этого графа.

Свойства

• Для конечного симплициального комплекса K группы гомологий H _k ( K ) являются конечно-порожденными и, следовательно, имеют конечный ранг. Если k превышает максимальную размерность симплексов K , то соответствующие группы гомологий нулевые. В этом случае
  • Эйлерова характеристика K может быть выражена следующим образом

    ${\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\beta _{i}(K)}$

  • Функция Пуанкаре является многочленом .
• Согласно для любых двух пространств X и Y , верно следующее соотношение для функций Пуанкаре

${\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},}$

• Если X — замкнутое и ориентируемое n -мерное многообразие , то, согласно двойственности Пуанкаре , для любого k :

  ${\displaystyle \beta _{k}(X)=\beta _{n-k}(X).}$

Примеры

1. Последовательность чисел Бетти для окружности ${\displaystyle S^{1}}$ : 1, 1, 0, 0, 0, …;

   многочлен Пуанкаре: ${\displaystyle 1+x}$ .

2. Последовательность чисел Бетти для двумерного тора ${\displaystyle T^{2}}$ : 1, 2, 1, 0, 0, 0, …;

   многочлен Пуанкаре: ${\displaystyle 1+2x+x^{2}=(1+x)^{2}}$ .

3. Последовательность чисел Бетти для трехмерного тора ${\displaystyle T^{3}}$ : 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, … .

   многочлен Пуанкаре: ${\displaystyle 1+3x+3x^{2}+x^{3}=(1+x)^{3}}$ .

4. Аналогично, для n -мерного тора , многочленом Пуанкаре является ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ , то есть числа Бетти являются биномиальными коэффициентами .
5. Бесконечномерные пространства могут иметь бесконечную последовательность ненулевых чисел Бетти. К примеру, бесконечномерное комплексное проективное пространство имеет последовательность чисел Бетти 1, 0, 1, 0, 1, … периодичную с периодом 2. В этом случае функция Пуанкаре не является многочленом, представляя собой бесконечный ряд, который является рациональной функцией:

   ${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}=1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\dotsb .}$

   • В общем случае, ряд Пуанкаре выражается рациональной функцией тогда и только тогда, когда последовательность чисел Бетти линейная рекуррентная .

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М. : Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М. : Наука, 1989