Стин родился и до двенадцати лет жил в
Виннипеге
, где его отец
выступал за «
Виннипег Джетс
»
. Томас набрал 817 очков в 950 матчах НХЛ и был капитаном «Виннипега». У Александра двойное
шведское
и
канадское
гражданство.
После возвращения в
Швецию
Стин начал выступать на молодёжном уровне. Начиная с сезона 2001/02 он провёл 189 матчей и набрал 82 очка за четыре года во «
Фрёлунде
» и «
МОДО
». На
драфте НХЛ 2002 года
Стин был выбран под общим 24-м номером клубом «
Торонто Мейпл Лифс
». С 2005 по 2008 годы Стин выступал за «Торонто», но команда ни разу не попала в
плей-офф
. 4 января 2007 года в игре против «
Бостон Брюинз
» Стин сделал
хет-трик
, добавив к нему ещё две результативные передачи
. Осенью 2008 года, в начале очередного сезона, «Лифс» обменяли Александра в «
Сент-Луис Блюз
».
В сезоне
2009/10
Стин забросил 24 шайбы, что стало его лучшим результатом за карьеру. По окончании сезона он подписал с «Блюз» новый контракт на $ 13,5 млн за четыре года
. В октябре 2013 года Стин был признан первой звездой месяца в НХЛ: в стартовых 10 играх сезона он забросил 11 шайб и набрал 16 очков
. В декабре продлил контракт еще на 3 года на сумму $ 17,4 млн.
В
сезоне 2013/14
обновил личный снайперский рекорд, забросив 33 шайбы, и вошёл в топ-15 снайперов НХЛ. В сезоне 2014/15 набрал рекордные для себя 64 очка (24+40) в 74 матчах.
В сентябре 2016 года подписал 4-летний контракт на сумму $ 23 млн, который вступил в действие с сезона 2017/18.
В
сезоне 2018/19
набрал 27 очков (10+17) в 65 матчах. В победном для «Блюз» плей-офф Кубка Стэнли Александр сыграл 26 матчей, в которых набрал 5 очков (2+3).
1 февраля 2020 года в родном Виннипеге сыграл 1000-й матч в регулярных сезонах НХЛ
. Стин стал 13-м шведом, кто достиг этой отметки.
17 декабря 2020 года объявил о завершении карьеры игрока.