Расслоение — тройка ${\displaystyle (X,\pi ,B)}$ , где ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство , называемое пространством расслоения (а также тотальным или расслоённым пространством ), ${\displaystyle B}$ — другое пространство, называемое базой расслоения, ${\displaystyle \pi }$ — непрерывное сюръективное отображение ( проекция расслоения) ${\displaystyle \pi \colon X\to B}$ пространства ${\displaystyle X}$ в пространство ${\displaystyle B}$ . Часто расслоением называют само отображение ${\displaystyle \pi }$ или пространство ${\displaystyle X}$ .

Для каждого элемента ${\displaystyle b\in B}$ определяется слой над этим элементом как подмножество ${\displaystyle F_{b}\subset X}$ всех прообразов элемента ${\displaystyle b\in B}$ , то есть ${\displaystyle F_{b}=\pi ^{-1}(\{b\})}$ . Соответственно расслоение представляет собой объединение ${\displaystyle F}$ слоёв ${\displaystyle F_{b}}$ , параметризованных базой ${\displaystyle B}$ и склеенных топологией пространства ${\displaystyle X}$ .

Отображение ${\displaystyle h\colon B\to X}$ такое, что ${\displaystyle \pi \circ h}$ ― тождественное отображение на ${\displaystyle B}$ называется сечением расслоения ${\displaystyle \pi :X\to B}$ ,

Типы расслоений

Как правило, изучаются конкретные типы расслоений, такие как гладкое расслоение или локально тривиальное расслоение .

Расслоение называется тривиальным (выглядящим как прямое произведение), если его пространство гомеоморфно прямому произведению ${\displaystyle B\times F}$ , а проекция задаётся каноническим образом: ${\displaystyle \pi (b,f)=b,\quad b\in B,~f\in F}$

Соответственно расслоение, локально (в некоторых окрестностях элементов) выглядящее как прямое произведение, называется локально-тривиальным расслоением .

Локально-тривиальное расслоение называется гладким , если функции переходов являются гладкими .

Векторное расслоение — отображение семейства векторных пространств в другое пространство (топологическое пространство, многообразие и так далее) ${\displaystyle X}$ так, что каждой точке ${\displaystyle x}$ пространства ${\displaystyle X}$ сопоставляется векторное пространство ${\displaystyle V_{x}}$ , объединение которых образует пространство такого же типа, что и ${\displaystyle X}$ . Образованное таким образом семейство векторных пространств называемое пространством векторного расслоения над ${\displaystyle X}$ .

Касательное расслоение (гладкого) многообразия ${\displaystyle M}$ — это гладкое векторное расслоение, где в качестве семейства векторных пространств (пространства векторного расслоения) выступает объединение касательных пространств ${\displaystyle TM}$ , а в качестве базы расслоения — само многообразие.

Некоторые другие специальные виды расслоений: расслоение Гуревича , расслоение Зейферта , расслоение Серра , расслоение Хопфа .

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : Фазис, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7 .
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М. : Наука, 1977. — 487 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1. — М. : Наука, 1981. — 344 с.