Классическая механика
Фундаментальные понятия Пространство Время Масса Скорость Сила Механическая работа Энергия Импульс
Формулировки Ньютоновская механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Формализм Гамильтона — Якоби Уравнения Рауса Уравнения Аппеля Теория Купмана — фон Неймана
Разделы Прикладная механика Небесная механика Механика сплошных сред Геометрическая оптика Статистическая механика
Учёные Галилей Кеплер Ньютон Эйлер Лаплас Д’Аламбер Лагранж Гамильтон Коши
См. также: Портал:Физика

Ве́ктор (от лат. vector — «перевозчик», «переносчик», «несущий») — в простейшем случае математический объект , характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости) .

Свободным вектором (или просто вектором ) называется класс равных между собой по длине и направлению направленных отрезков (эквиполентных ), исходящих из разных точек пространства . В математике и естественных науках рассматриваются также связанные векторы , для каждого из которых задана конкретная начальная точка.

Примеры:

( свободные векторы ) направляющий вектор прямой , направление параллельного переноса ;

( связанные векторы ) нормаль в точке поверхности , радиус-вектор орбиты планеты, вектор градиента , элементы разнообразных векторных полей .

Если в пространстве задана система координат , то (свободный) вектор однозначно задаётся набором своих координат. Поэтому в математике, информатике и других науках упорядоченный набор чисел часто тоже называют вектором. В более общем смысле вектор в математике рассматривается как элемент некоторого векторного (линейного) пространства .

Является одним из основополагающих понятий линейной алгебры . При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе матрицы , тензоры , однако при наличии в окружающем контексте этих объектов под вектором понимаются соответственно вектор-строка или вектор-столбец , тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в векторном исчислении .

Обозначения

Вектор, представленный набором ${\displaystyle n}$ элементов (компонент) ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ , обозначают следующими способами:

${\displaystyle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right),\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}}$ .

Для того чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

${\displaystyle {\bar {a}},\ {\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},\ {\mathfrak {a}}.}$

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}$ .

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

${\displaystyle k{\vec {b}}}$ ,

причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение вектора на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

Стоит иметь в виду, что умножение вектора на матрицу требует написания компонент первого в виде строки, тогда как умножение матрицы на вектор требует написания последнего в виде столбца. Чтобы дополнительно подчеркнуть, что в операции вектор ${\displaystyle {\vec {a}}}$ участвует как строка, пишут знак транспонирования : ${\displaystyle {\vec {a}}^{T}}$

История

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел ( Гаусс , 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор ( лат. vector , несущий ) и описал некоторые операции векторного анализа . Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму , тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид .

Общепринятых обозначений вектора не существует, используются жирный шрифт, черта или стрелка над буквой, готический алфавит и др.

В геометрии

В геометрии под векторами понимают направленные отрезки. Эту интерпретацию часто используют в компьютерной графике , строя карты освещения с помощью нормалей к поверхностям. Также с помощью векторов можно находить площади различных фигур, например, треугольников и параллелограммов , а также объёмы тел: тетраэдра и параллелепипеда .
Иногда с вектором отождествляют направление.

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу ( параллельному переносу ), что, очевидно, проясняет происхождение его названия ( лат. vector , несущий ). Действительно, любой направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства, и обратно, параллельный перенос однозначно определяет собой единственный направленный отрезок (однозначно — если считать равными все направленные отрезки одинакового направления и длины — то есть рассматривать их как свободные векторы ).

Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию сложения векторов — как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.

В линейной алгебре

В линейной алгебре вектором называется элемент линейного пространства, что соответствует общему определению, приведённому ниже. Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.
Данным понятием вектора чаще всего пользуются при решении систем линейных алгебраических уравнений , а также при работе с линейными операторами (пример линейного оператора — оператор поворота ). Часто это определение расширяют, определяя норму или скалярное произведение (возможно, и то, и другое вместе), после чего оперируют уже с нормированными и евклидовыми пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора. Многие математические объекты (например, матрицы , тензоры и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства , то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

В функциональном анализе

В функциональном анализе рассматриваются функциональные пространства — бесконечномерные линейные пространства. Их элементами могут являться функции. На основании такого представления функции выстроена теория рядов Фурье . Аналогично с линейной алгеброй часто вводят норму, скалярное произведение или метрику на пространстве функций. На понятии функции как элемента гильбертова пространства основываются некоторые методы решения дифференциальных уравнений , например, метод конечных элементов .

Общее определение

Наиболее общее определение вектора даётся средствами общей алгебры :

• Обозначим ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ (готическая F) некоторое поле с множеством элементов ${\displaystyle F}$ , аддитивной операцией ${\displaystyle +}$ , мультипликативной операцией ${\displaystyle *}$ и соответствующими нейтральными элементами : аддитивной единицей ${\displaystyle 0}$ и мультипликативной единицей ${\displaystyle 1}$ .
• Обозначим ${\displaystyle {\mathfrak {V}}}$ (готическая V) некоторую абелеву группу с множеством элементов ${\displaystyle V}$ , аддитивной операцией ${\displaystyle +}$ и, соответственно, с аддитивной единицей ${\displaystyle \mathbf {0} }$ .

Иначе говоря, пусть ${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\langle F;+,*\rangle }$ и ${\displaystyle {\mathfrak {V}}=\langle V;+\rangle }$ .

Если существует операция ${\displaystyle F\times V\to V}$ , такая что для любых ${\displaystyle a,b\in F}$ и для любых ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$ выполняются соотношения:

1. ${\displaystyle (a+b)\times \mathbf {x} =a\times \mathbf {x} +b\times \mathbf {x} }$ ,
2. ${\displaystyle a\times (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\times \mathbf {x} +a\times \mathbf {y} }$ ,
3. ${\displaystyle (a*b)\times \mathbf {x} =a\times (b\times \mathbf {x} )}$ ,
4. ${\displaystyle 1\times \mathbf {x} =\mathbf {x} }$ ,

тогда

• ${\displaystyle {\mathfrak {V}}}$ называется векторным пространством над полем ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ (или линейным пространством),
• элементы ${\displaystyle V}$ называются векторами ,
• элементы ${\displaystyle F}$ — скалярами ,
• указанная операция ${\displaystyle F\times V\to V}$ — умножением вектора на скаляр .

Многие результаты линейной алгебры обобщены до над некоммутативными телами и даже произвольных модулей над кольцами ; таким образом, в наиболее общем случае в некоторых контекстах вектором может быть назван любой элемент модуля над кольцом.

Физическая интерпретация

Вектор как структура, имеющая одновременно величину (модуль) и направление, рассматривается в физике как математическая модель скорости , силы и связанных с ними величин, кинематических или динамических. Математической моделью многих физических полей (например, электромагнитного поля или поля скорости жидкости) являются векторные поля .

Абстрактные многомерные и бесконечномерные (в духе ) векторные пространства используются в лагранжевом и гамильтоновом формализме применительно к механическим и другим динамическим системам, а также в квантовой механике (см. Вектор состояния ).

Вектор как последовательность

Вектор — ( последовательность , кортеж ) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства . Именно в таком виде вектор понимается в программировании , где, как правило, обозначается именем- идентификатором с квадратными скобками (например, object[] ). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается ${\displaystyle {\overline {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ , числа ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ называются компонентами арифметического вектора. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число, называется пространством арифметических векторов ${\displaystyle R^{n}}$ .

См. также

• Векторная величина
• Векторное поле
• Векторный анализ

Примечания

Литература

• Гусятников П.Б., Резниченко С.В. . — М. : Высшая школа , 1985. — 232 с.
• Коксетер Г. С. М. , Грейтцер С. П. . — М. : Наука , 1978. — Т. 14. — ( Библиотека математического кружка ).
• (англ.) J. V. Field, The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance , Oxford University Press , 1997 ISBN 0198523947
• F. Casiro, A. Deledicq, Pythagore et Thalès Les éditions du Kangourou 1998 ISBN 2-87694-040-X
• R. Pouzergues, Les Hexamys , IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Cote : IM8974 от 25 февраля 2021 на Wayback Machine
• D. Lehmann et , Initiation à la géométrie , PUF, 1988, ISBN 2130401600
• Y. Sortais, La Géométrie du triangle. Exercices résolus , Hermann, 1997, ISBN 270561429X
• Y. Ladegaillerie, Géométrie pour le CAPES de mathématiques , Ellipses Marketing, 2002 ISBN 2729811486
• J. Perez, Mécanique physique , Masson, 2007 ISBN 2225553416
• M. B. Karbo, Le graphisme et l'internet , Compétence micro, №26, 2002 ISBN 2912954959

Ссылки

• (англ.) par J. Miller