Расслоение на окружности — это расслоение , в котором слоями являются окружности ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {S} ^{1}}$ .

Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U (1)-расслоения . В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма . Расслоение на окружности является частным случаем .

Как 3-многообразия

Расслоение на окружности поверхностей является важным примером . Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта , которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий .

Отношение к электродинамике

Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю , представленному 2-формой F с ${\displaystyle \pi ^{\!*}F}$ нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A , электромагнитный потенциал , (эквивалентно, аффинная связность ), такой, что

${\displaystyle \pi ^{\!*}F=dA.}$

Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция

${\displaystyle \pi :P\to M}$ ,

имеем гомоморфизм

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )}$ ,

где ${\displaystyle \pi ^{\!*}}$ является обратным образом . Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака . Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда . Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.

Примеры

• Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение поверхности является другим примером расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение неориентируемой поверхности является расслоением на окружности, которое не является главным расслоением ${\displaystyle U(1)}$ . Только ориентируемые поверхности имеют главные сферические касательные расслоения.
• Другим методом для построения расслоения на окружности является использование комплексного линейного расслоения ${\displaystyle L\to X}$ и взятие ассоциированного расслоения на сферы (в данном случае — на окружности). Поскольку это расслоение имеет индуцированную ориентацию из ${\displaystyle L}$ , получаем, что оно является главным расслоением ${\displaystyle U(1)}$ . Более того, характеристические классы из теории Чженя — Вейля расслоений ${\displaystyle U(1)}$ согласуются с характеристическими классами ${\displaystyle L}$ .
• Например, рассмотрим аналитификацию ${\displaystyle X}$ комплексной плоской кривой

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)}$

Поскольку ${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$ и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$ , имеет класс Чженя ${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$ .

Классификация

Классы изоморфности главных расслоений ${\displaystyle U(1)}$ многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с отображений ${\displaystyle M\to BU(1)}$ , где ${\displaystyle BU(1)}$ называется . Заметим, что ${\displaystyle BU(1)=CP^{\infty }}$ является бесконечномерным , и что оно является примером ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ . Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ многообразия M , поскольку

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$ .

Этот изоморфизм реализуется . Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ , комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)

Расслоение на окружности является главным расслоением ${\displaystyle U(1)}$ тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение ${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$ гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений ${\displaystyle M\to BO_{2}}$ . Это следует из расширения групп ${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$ , где ${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$ .

Комплексы Делиня

Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ , расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$ , в то время как ${\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$ классифицирует линейные расслоения .

См. также

• Спектральная последовательность

Примечания

Литература