В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник , стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников .

Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник , не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.

Специальные случаи

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды , которые включают ромбы , которые, в свою очередь, включают квадраты . Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными . Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником , он называется .

Свойства

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности .

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:

${\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.}$

Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d , должен быть описанным.

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющемся трапецией ) пересекаются в точках E и F , то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF}$

или

${\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.}$

Второе равенство почти то же, что и равенство в . Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга .

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD , принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.}$

Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a , b , c , d является описанным тогда и только тогда, когда

${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$ ,

где R _a , R _b , R _c , R _d являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a , b , c , d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны .

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь

Нетригонометрические формулы

Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой

${\displaystyle S=r\cdot p}$ ,

где p — полупериметр и r — радиус вписанной окружности . Ещё одна формула

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}}$ ,

дающая площадь в терминах диагоналей p , q и сторон a , b , c , d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e , f , g , h , то касательный четырёхугольник имеет площадь

${\displaystyle S={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}$

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h

${\displaystyle S={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}$

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, получаем, что максимальная площадь ${\displaystyle {\sqrt {abcd}}}$ может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы

Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a , b , c , d и двух противоположных сторон

${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным . В этом случае ${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}$ , поскольку противоположные углы являются дополнительными . Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ .

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD , использующая два противоположных угла

${\displaystyle S=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin {\frac {A+C}{2}}}$ ,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов

${\displaystyle S=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

Есть ещё одна формула

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,}$

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a , b , c , d удовлетворяет неравенству

${\displaystyle S\leq {\sqrt {abcd}}}$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является .

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр p описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

${\displaystyle p\geq 4r}$ ,

где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом . Это означает, что для площади S = pr, выполняется неравенство

${\displaystyle S\geq 4r^{2}}$

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.

Свойства частей четырёхугольника

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида .

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами , то эта линия проходит через инцентр .

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a , b , c , d задаётся формулой

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\frac {S}{a+c}}={\frac {S}{b+d}}}$ ,

где S — площадь четырёхугольника, а p — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным .

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности .

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}$

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD . Если u = AO , v = BO , x = CO и y = DO , то

${\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}}$ ,

где ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}$ .

Формулы для углов

Если e , f , g и h отрезки касательных от вершин A , B , C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD , то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой (см. рисунок)

${\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}$

Диагонали

Если e , f , g и h являются отрезками касательных от A , B , C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD , то длины диагоналей p = AC и q = BD равны

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$

Хорды точек касания

Если e , f , g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны

${\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},}$

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h , а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e . Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}$

Две хорды

• перпендикулярны тогда и только тогда, когда четырёхугольник также и вписан .
• имеют одинаковые длины тогда и только тогда, описанный четырёхугольник является дельтоидом .

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA .

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P , то отношение отрезков касательных ${\displaystyle {\tfrac {BM}{DN}}}$ равно отношению ${\displaystyle {\tfrac {BP}{DP}}}$ отрезков диагонали BD .

Коллинеарные точки

Если M ₁ и M ₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O , а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M ₃ — середина отрезка EF , тогда точки M ₃ , M ₁ , O , и M ₂ лежат на одной прямой Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F , а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S , то четыре точки E , F , T и S лежат на одной прямой

Если вписанная окружность касается сторон AB , BC , CD , DA в точках M , K , N и L соответственно, и если T _M , T _K , T _N , T _L являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТ _M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых T _N T _M и T _K T _L . Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q , "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2 GO . Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника .

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O , в котором диагонали пересекаются в точке P , пусть H _M , H _K , H _N , H _L являются ортоцентрами треугольников AOB , BOC , COD и DOA соответственно. Тогда точки P , H _M , H _K , H _N и H _L лежат на одной прямой.

Конкурентные и перпендикулярные прямые

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке). Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона , которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение , имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB , BC , CD и DA в точках M , K , N , L соответственно, то прямые MK , LN и AC конкурентны.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F , а диагонали пересекаются в точке P , то прямая EF перпендикулярна продолжению OP , где O — центр вписанной окружности .

Свойства вписанной окружности

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих вершин

${\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {OA\cdot OB}{OC\cdot OD}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {OB\cdot OC}{OD\cdot OA}}.}$

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению

${\displaystyle AB\cdot BC=OB^{2}+{\frac {OA\cdot OB\cdot OC}{OD}}.}$

Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD , то

${\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}$

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда

${\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.}$

Если M ₁ и M ₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то

${\displaystyle {\frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={\frac {OA\cdot OC}{OB\cdot OD}}={\frac {e+g}{f+h}},}$

где e , f , g и h — отрезки касательных в вершинах A , B , C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центром вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклым (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса ${\displaystyle {\sqrt {abcd}}/s}$ , где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.

Свойства четырёх внутренних треугольников

Для непересекающихся треугольниках APB , BPC , CPD , DPA , образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD , где диагонали пересекаются в точке P , имеются следующие свойства.

Пусть r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB , BPC , CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}$

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном . В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через h _M , h _K , h _N и h _L обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P ), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {1}{h_{M}}}+{\frac {1}{h_{N}}}={\frac {1}{h_{K}}}+{\frac {1}{h_{L}}}.}$

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей r _M , r _K , r _N и r _L для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда

${\displaystyle {\frac {1}{r_{M}}}+{\frac {1}{r_{N}}}={\frac {1}{r_{K}}}+{\frac {1}{r_{L}}}.}$

Если R _M , R _K , R _N и R _L — радиусы описанных окружностей треугольников APB , BPC , CPD и DPA соответственно, то четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда

${\displaystyle R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.}$

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах . Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник . Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника .

Выпуклый четырёхугольник ABCD , в котором диагонали пересекаются в точке P , является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB , BPC , CPD и DPA лежат на одной окружности (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если R _m , R _n , R _k и R _l — радиусы вневписанных окружностей APB , BPC , CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D , то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет

${\displaystyle {\frac {1}{R_{m}}}+{\frac {1}{R_{n}}}={\frac {1}{R_{k}}}+{\frac {1}{R_{l}}}.}$

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P , является описанным тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {m}{\triangle (APB)}}+{\frac {n}{\triangle (CPD)}}={\frac {k}{\triangle (BPC)}}+{\frac {l}{\triangle (DPA)}}}$

где m , k , n , l – длины сторон AB , BC , CD и DA , а ∆( APB ) — площадь треугольника APB .

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = p _a и PC = p _c . Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = p _b и PD = p _d . Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:

${\displaystyle mp_{c}p_{d}+np_{a}q_{b}=kp_{a}p_{d}+lp_{c}p_{b}}$

или

${\displaystyle {\frac {(p_{a}+p_{b}-m)(p_{c}+p_{d}-n)}{(p_{a}+p_{b}+m)(p_{c}+p_{d}+n)}}={\frac {(p_{c}+p_{b}-k)(p_{a}+p_{d}-l)}{(p_{c}+p_{b}+k)(p_{a}+p_{d}+l)}}}$

или

${\displaystyle {\frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n-p_{c}+p_{d})}}={\frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_{c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.}$

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника

Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны .

Если вписанная окружность касается сторон AB , BC , CD , DA в точках M , K , N , L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда

• хорда MN перпендикулярна KL
• ${\displaystyle {\frac {AM}{MB}}={\frac {DN}{NC}}}$
• ${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AM+CN}{BK+DL}}}$

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным .

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон .

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:

• Площадь равна половине произведения диагоналей
• Диагонали перпендикулярны
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
• Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
• Средние линии имеют одинаковые длины
• Произведения противоположных сторон равны
• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

См. также

• Описанная окружность
• Вписанная в треугольник окружность

Примечания

Ссылки

• Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Birkhäuser, 2006.
• Helen. On a circle attached to a collapsible four-bar // American Mathematical Monthly . — 1926. — Т. 33 , вып. 9 . — JSTOR .
• Alexander Bogomolny. When A Quadrilateral Is Inscriptible? // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
• C.V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry // Dover reprint. — 2003.
• Victor Bryant, John Duncan. Wheels within wheels // . — 2010. — Вып. 94, November .
• Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14 .
• Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly . — 2000. — Т. 107 , вып. 7 . — doi : .
• Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8 .

Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — Т. 11 .

• John P. Hoyt. Quickies, Q694 // Mathematics Magazine . — 1984. — Т. 57 , вып. 4 .
• John P. Hoyt. Maximizing the Area of a Trapezium // American Mathematical Monthly . — 1986. — Т. 93 , вып. 1 . — doi : .

• Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10 .

Martin Josefsson. On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — Т. 10 .

• Martin Josefsson. Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010c. — Т. 10 .
• Martin Josefsson. When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. — 2011a. — Т. 11 .
• Martin Josefsson. More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2011b. — Т. 11 .
• Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011c. — Т. 11 .
• Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12 .
• Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. — 2012b. — Т. 12 .
• Nicusor Minculete. Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2009. — Т. 9 .
• Alexei Myakishev. On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6 .
• A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometry. — Cambridge Univ. Press, 1929.
• И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров. (Решение задачи) M1495 // Квант. — 1995. — Вып. 6 .
• Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // . — 2011. — Вып. 95, March .

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .