Теорема о сумме углов многоугольника выражает сумму углов евклидова многоугольника через число его сторон.

Формулировка

Сумма внутренних углов плоского ${\displaystyle n}$ -угольника равна ${\displaystyle 180^{\circ }{\cdot }(n-2)}$ .

Замечания

• Теорема следует из существования триангуляции многоугольника без дополнительных вершин и теоремы о сумме углов треугольника .
  • Существование триангуляции очень просто доказывается для выпуклых многоугольников, в случае невыпуклых многоугольников оно не вполне очевидно.

• Утверждение теоремы эквивалентно тому, что сумма ориентированных внешних углов многоугольника равна ±360°.

Вариации и обобщения

• Задача о триангуляции многоугольника .
• Теорема о сумме углов треугольника — важный частный случай теоремы.
• Теорема о повороте кривой — дифференциальногеометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника.
• Формула Гаусса — Бонне — аналогичный результат для искривлённых поверностей.

Литература

• § 82 в А. П. Киселёв. " Геометрия по Киселёву ". arXiv : [ ].