Interested Article - Соотношение Бретшнайдера

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике , аналог теоремы косинусов .

Формулировка

Четырехугольник

Между сторонами a, b, c, d , углами противоположными друг другу, и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

Замечание

  • Эквивалентные формулировки:

Доказательство

Следствия

  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается теорема Стюарта .
  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник и одна вершина попадает на середину стороны, то с учётом равенства основного угла и дополнительного также получается Теорема Аполлония .
  • Если четырёхугольник вписан в окружность, то . Тогда из предпоследней формулы выше следует первая теорема Птолемея : .
  • Если D — центр описанной окружности треугольника ABC , то DA = DB = DC . Используя теорему об углах вписанных в окружность, получим теорему косинусов для треугольника ABC .

См. также

Литература

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 85—86. — ISBN 5-94057-170-0 .
Источник —

Same as Соотношение Бретшнайдера