Два́жды противополо́жно скру́ченный ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона ( J ₇₃ , по Залгаллеру — М ₆ +М ₁₄ + М ₆ ).

Составлен из 62 граней: 20 правильных треугольников , 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников . Среди пятиугольных граней 2 окружены пятью квадратными, остальные 10 — четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 10 окружены двумя пятиугольными и двумя треугольными, 10 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, остальные 10 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 10 окружены тремя квадратными, другие 10 — пятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 50 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 10 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 10 рёбер — между двумя квадратными, остальные 50 — между квадратной и треугольной.

У дважды противоположно скрученного ромбоикосододекаэдра 60 вершин. В каждой сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра , выбрав в нём две части — любые два противолежащих пятискатных купола ( J ₅ ), — и повернув каждый на 36° вокруг его оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 59{,}3059828a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\left(60+29{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 41{,}6153238a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.}$

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .