Interested Article - Задача о пушечных ядрах

Единственный нетривиальный способ укладки пушечных ядер в квадрат и в пирамиду

Задача о пушечных ядрах ( англ. cannonball problem ) — задача о нахождении числа пушечных ядер , которые можно уложить и в один слой в форме квадрата, и в форме пирамиды с квадратом в основании, то есть о нахождении квадратных чисел , также являющихся квадратными пирамидальными числами . Нахождение этого числа сводится к решению диофантова уравнения $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ или ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ . Уравнение имеет два решения: $N=1$ и $M=1$ , то есть одно пушечное ядро, и $N=24$ и $M=70$ , то есть 4900 пушечных ядер.

История задачи

Вопросы укладки пушечных ядер интересовали уже сэра Уолтера Рэли и его современника Томаса Хэрриота , однако в приведённой выше форме она была сформулирована в 1875 году Эдуаром Люка , предположившим, что кроме $N=1$ и $N=24$ других решений не существует . Частичные доказательства были предложены Море-Бланом (1876) и самим Люка (1877) . Первое полное доказательство было предложено Уотсоном (1918) ; доказательство использовало эллиптические функции . Ещё одно доказательство было предложено (1952) с использованием уравнения Пелля . Доказательства с использованием только элементарных функций были предложены Ма (1985) и Энглином (1990) .

Доказательства

Доказательство Уотсона

Доказательство Уотсона основано на наблюдении, что из трёх чисел $N$ , $N+1$ и $2N+1$ одно должно делиться на 3; и либо $N$ , либо $N+1$ должно быть чётным; и что все остальные множители должны быть квадратами. Тем самым возможны шесть вариантов:

$N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.$

Однако, поскольку $2b^{2}$ при делении на 3 может иметь только остатки 0 или 2, первый вариант приводит к противоречию. Аналогичным образом можно исключить второй, третий и четвёртый варианты.

Пятый вариант приводит к решению $N=24$ . Действительно, $N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2}$ возможно только при нечётном $c$ , и $(c-1)(c+1)=12a^{2}$ , то есть, существуют целые числа $d$ и $e$ , такие что ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a=de$ или ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a=de$ . Однако, ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a=de$ приводит к противоречию $3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$ . Следовательно, ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a=de$ , то есть, $c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2}$ и $c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2}$ . Как показано Жероно , $c=1$ и $c=7$ являются единственными решениями последней системы уравнений . Случай $c=1$ невозможен, так как $N=0$ ; случай $c=7$ приводит к $N=24$ . Альтернативное доказательство единственности решения $N=24$ в этом случае использует то, что единственными решениями $y^{2}=8x^{4}+1$ являются $(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3),\ (-1,\;-3)$ и приведено в главе 6.8.2 книги Коэна .

Доказательство отсутствия нетривиальных решений в шестом варианте требует применения эллиптических функций. Действительно, шестой вариант можно привести к виду $2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2}$ . Вместо этих уравнений Уотсон рассматривает более общий случай $2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2}$ и показывает, что решения этих уравнений должны удовлетворять ${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\operatorname {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}$ , где $r$ — неотрицательное целое число, $\beta$ задана $\operatorname {sn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , $\operatorname {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , $\operatorname {dn} (\beta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ , а $\operatorname {sn}$ , $\operatorname {cn}$ , $\operatorname {dn}$ и $\operatorname {sd}$ — эллиптические функции Якоби . Далее Уотсон доказывает, что $Z$ численно равно единице, только если $r=0$ , то есть $X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$ , и единственное возможное в этом случае решение $N=1$ .

Доказательство Ма

Доказательство единственности приведённых выше решений, предложенное Ма, основывается на последовательном доказательстве следующих утверждений :

Единственным чётным решением задачи об укладке ядер является $(24,70)$ . Действительно, чётность $n$ позволяет исключить варианты 1, 4 и 6 из доказательства Уотсона, варианты 2 и 3 приводят к противоречию (см. доказательство Уотсона), а $(24,70)$ — единственное решение возможное для варианта 5.
Пусть $\alpha =2+{\sqrt {3}},\beta =2-{\sqrt {3}},M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/2$ . Тогда для неотрицательных $n$ , $M_{n}$ имеет вид $4x^{2}+3$ только для $n=2$ .
Единственным нечётным $N$ , удовлетворяющим задаче об укладке ядер, является $N=1$ . Действительно, рассуждая аналогично доказательству Уотсона, нечётное $N$ должно удовлетворять варианту 6, то есть, $N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2}$ . Поскольку для любого $x$ , $(4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1$ и $4x+3=2(2x+1)+1$ , это также справедливо для $N$ . Подставляя $2b^{2}$ и $3c^{2}$ вместо $x+1$ и $2x+1$ , получим $(2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1$ , то есть, $(6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1$ . Поскольку $2+{\sqrt {3}}$ порождает группу единиц $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ , существует $n\in \mathbb {Z}$ такое, что $6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})$ , где $M_{n}$ определено выше, а $G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )$ . Поскольку $M_{n}$ положительно, $M_{n}=6c^{2}+1$ и, по определению $a$ , $M_{n}=4a^{2}+3$ . По предыдущей лемме, $n=2,M_{n}=7$ , то есть $a=1$ и $n=1$ .

Подробности доказательства приведены в главе 6.8.2 книги Коэна .

Обобщения задачи

За исключением тривиального случая $N=1$ не существует числа пушечных ядер, которые бы можно было уложить в виде пирамиды с квадратом в основании, и которое бы при этом одновременно являлось кубом, четвёртой или пятой степенью натурального числа . Более того, это же справедливо для укладки ядер в виде правильного тетраэдра .

Другим обобщением задачи является вопрос о нахождении числа ядер, которые можно уложить в форме квадрата и усечённой пирамиды с квадратом в основании. То есть ищут $n$ последовательных квадратов (не обязательно начиная с 1), сумма которых является квадратом. Известно, что множество $S$ таких $n$ бесконечно, имеет асимптотическую плотность ноль и для $n$ , не являющихся квадратами, существует бесконечно много решений . Число $N(x)$ элементов множества $S$ , не превышающих $x$ , оценивается как $c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}$ . Первые элементы $n$ множества $S$ и соответствующие наименьшие значения $a$ , такие что $\sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2}$ является квадратом, приведены в следующей таблице :

n	2	11	23	24	26	33	47	49	50	59
a	3	18	7	1	25	7	539	25	7	22

Для $n=2$ и $a=3$ решением является пифагорова тройка $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ . Для $n=24$ и $a=1$ решением является приведённое выше решение задачи об укладке пушечных ядер. Последовательность элементов множества $S$ — последовательность в OEIS .

Ещё одно обобщение задачи было рассмотрено Канэко и Татибаной : вместо вопроса о равенстве суммы первых квадратных чисел и другого квадратного числа, они рассмотрели вопрос о равенстве суммы первых многоугольных чисел и другого многоугольного числа и показали, что для любого $m\geqslant 3$ существует бесконечно много последовательностей первых $m$ -угольных чисел, таких что их сумма равна другому многоугольному числу, и что для любого $n\geqslant 3$ существует бесконечное число $n$ -угольных чисел, представимых в виде суммы последовательностей первых многоугольных чисел. Более того, Канэко и Татибана установили, что для любого натурального $k$ выполняются следующие отношения:

Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),

Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),

Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),

G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),

G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),

где $G_{m}(n)$ — $n$ -ое $m$ -угольное число, а $Pyr_{m}(n)$ — $n$ -ое $m$ -угольное пирамидальное число , то есть, сумма $n$ первых $m$ -угольных чисел .

Связь с другими областями математики

Нетривиальное решение $N=24$ приводит к построению решётки Лича (которая, в свою очередь, связана с различными областями математики и теоретической физики — теория бозонных струн , монстр ). Это делается с помощью чётной унимодулярной решётки $\mathrm {II} _{25,1}$ в 25+1-мерном псевдоевклидовом пространстве . Рассмотрим вектор этой решётки $w=(0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;23,\;24;\;70)$ . Поскольку $N=24$ и $M=70$ — решение задачи об укладке пушечных ядер, этот вектор — светоподобный , $w\cdot w=0$ , откуда, в частности, следует, что он принадлежит собственному ортогональному дополнению $w^{\bot }$ . Согласно Конвею , вектор $w$ позволяет построить решётку Лича

как фактормножество $(w^{\bot }\cap \mathrm {II} _{25,1})/w$ , которое корректно определено благодаря светоподобности $w$ ;
как множество всех векторов $r\in \mathrm {II} _{25,1}$ таких, что $r\cdot r=2,r\cdot w=-1$ . Такие векторы составляют множество так называемых фундаментальных корней решётки $\mathrm {II} _{25,1}$ . Во всех случаях, когда можно таким способом построить множество фундаментальных корней чётной унимодулярной решётки в псевдоевклидовом пространстве $\mathrm {II} _{n,1}$ , всегда можно использовать целочисленный вектор с идущими подряд от ноля пространственными компонентами; а чтобы это множество образовывало решётку, этот вектор должен быть светоподобным. И поскольку $N=24$ — единственное нетривиальное решение задачи об укладке пушечных ядер, то 24-мерная решётка Лича — единственная решётка, которую можно таким способом получить из $\mathrm {II} _{n,1}$ .

См. также

Плотная упаковка равных сфер

Примечания

David Darling. . The Internet Encyclopedia of Science . Дата обращения: 6 июля 2017. 23 декабря 2017 года.
Édouard Lucas. : [ 1 сентября 2017 ] // Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вып. 14. — С. 336.
Claude Séraphin Moret-Blanc. : [ 2 сентября 2017 ] // Nouv. Ann. Math. — 1876. — Вып. 15. — С. 46—48.
Édouard Lucas. : [ 1 сентября 2017 ] // Nouv. Ann. Math. — 1877. — Вып. 15. — С. 429—432.
↑ G. N. Watson. // Messenger Math. — 1918. — Вып. 48. — С. 1—22.
↑ Eric W. Weisstein. (англ.) . MathWorld--A Wolfram Web Resource . Дата обращения: 6 июля 2017. 18 июля 2017 года.
W. Ljunggren. New solution of a problem proposed by E. Lucas // Norsk Mat. Tid.. — 1952. — Вып. 34. — С. 65—72.
↑ Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K. A. Bencsath, P. R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 223—224. — 454 p. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-1928-1 .
D. G. Ma. An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$ . // Sichuan Daxue Xuebao. — 1985. — Вып. 4. — С. 107—116.
W. S. Anglin. The Square Pyramid Puzzle. // Amer. Math. Monthly. — 1990. — Вып. 97. — С. 120—124.
C.-C. Gerono. Démonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. — 1857. — Т. 16. — С. 237—240.
↑ Henri Cohen. Number Theory. — 2007: Springer. — P. 424—427. — 653 p. — ISBN 978-0-387-49922-2 .
↑ Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore: World Scientific, 2012. — P. 98. — 456 p. — ISBN 981-4355-48-8 .
N. J. A. Sloane . (англ.) . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Дата обращения: 10 июля 2017. 30 июля 2017 года.
↑ Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana. : [ англ. ] : [ 1 сентября 2017 ] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2002. — Т. 32, № 1. — С. 149—165.
J. H. Conway. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice // Journal of Algebra. — 1983. — Vol. 80. — P. 159—163. — doi : .
J. H. Conway, N. J. A. Sloane. 26. Lorentzian Forms for the Leech Lattice. 27. The Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, 1999. — ISBN 978-1-4757-6568-7 , 978-0-387-98585-5.