Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции , которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ такая, что ${\displaystyle \varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)}$ для всех ${\displaystyle x}$ в некоторой окрестности точки ${\displaystyle a}$ , причём функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ имеют одинаковый предел при ${\displaystyle x\to a}$ , то существует предел функции ${\displaystyle y=f(x)}$ при ${\displaystyle x\to a}$ , равный этому же значению, то есть

${\displaystyle \lim _{x\to a}\varphi (x)=\lim _{x\to a}\psi (x)=A\Rightarrow \lim _{x\to a}f(x)=A.}$

Также такое название имеет аналогичная теорема о пределе последовательностей , формулирующаяся следующим образом:

Если последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ такая, что ${\displaystyle b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant c_{n}}$ для всех ${\displaystyle n}$ , причём последовательности ${\displaystyle b_{n}}$ и ${\displaystyle c_{n}}$ имеют одинаковый предел при ${\displaystyle n\to \infty }$ , то существует предел последовательности ${\displaystyle a_{n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$ , равный этому же значению, то есть

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=A\Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=A.}$

Доказательство

Из неравенства ${\displaystyle \varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)}$ получаем неравенство ${\displaystyle \varphi (x)-A\leqslant f(x)-A\leqslant \psi (x)-A}$ . Условие ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}\varphi (x)=A=\lim \limits _{x\to a}\psi (x)}$ позволяет сказать, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует окрестность ${\displaystyle U_{a}}$ , в которой верны неравенства ${\displaystyle \left|\varphi (x)-A\right|<\varepsilon }$ и ${\displaystyle \left|\psi (x)-A\right|<\varepsilon }$ . Из изложенных выше неравенств следует, что ${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$ при ${\displaystyle x\in U_{a}}$ , что удовлетворяет определению предела , то есть ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=A}$ .

Название и зарубежная терминология

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера под руки ведут задержанного в участок, то он вынужден идти вместе с ними.

В разных странах эта теорема называется по-разному. Теорема сжатия, теорема о промежуточной функции, теорема о двух карабинерах , теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах , теорема о двух городовых и пр.

См. также

• Предел последовательности
• Предел функции

Примечания

Ссылки