Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники , которые, не являясь правильными , имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии . Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела .

Классификация

Полуправильными в этом случае называются многоранники, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

• Все грани являются правильными многоугольниками ;
• Все грани одинаковы;
• Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии (тэтраэдральной, октаэдральной или икосаэдрической).

Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел. Тела, не обладающие третьим свойством, называются телами Джонсона (некоторые из которых не обладают и вторым свойством) и не относятся к полуправильным.

Помимо архимедовых и каталановых тел к полуправильным многогранникам иногда относят и бесконечные последовательности призм и антипризм , у которых также отсутствует только второе свойство. Призмы и антипризмы, однако, относятся к диэдральной группе симметрии, для которой не существует правильных многогранников.

Архимедовы тела

Архимедовы тела — выпуклые многогранники , обладающие двумя свойствами:

• Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник , или платоново тело );
• для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую. В частности,
  • все многогранные углы при вершинах конгруэнтны .

Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду , хотя соответствующие работы утеряны.

Все архимедовы тела являются правильногранными многогранниками .

Каталановы тела

Тела, двойственные архимедовым, так называемые каталановы тела , имеют конгруэнтные грани (переводимые друг в друга сдвигом, вращением или отражением), равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

Список полуправильных многогранников

Существует 13 архимедовых тел, два из которых ( курносый куб и плосконосый додекаэдр ) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел.

Многогранник — архимедово тело	Грани	Вершины	Рёбра	Конфигурация вершины	Двойственный — каталаново тело	Группа симметрии
Кубооктаэдр	8 треугольников 6 квадратов	12	24	3,4,3,4	Ромбододекаэдр	O h
Икосододекаэдр	20 треугольников 12 пятиугольников	30	60	3,5,3,5	Ромботриаконтаэдр	I h
Усечённый тетраэдр	4 треугольника 4 шестиугольника	12	18	3,6,6	Триакистетраэдр	T d
Усечённый октаэдр	6 квадратов 8 шестиугольников	24	36	4,6,6	Тетракисгексаэдр (преломлённый куб)	O h
Усечённый икосаэдр	12 пятиугольников 20 шестиугольников	60	90	5,6,6	Пентакисдодекаэдр	I h
Усечённый куб	8 треугольников 6 восьмиугольников	24	36	3,8,8	Триакисоктаэдр	O h
Усечённый додекаэдр	20 треугольников 12 десятиугольников	60	90	3,10,10	Триакисикосаэдр	I h
Ромбокубоктаэдр	8 треугольников 18 квадратов (6 — в кубическом положении, 12 — в ромбическом )	24	48	3,4,4,4	Дельтоидальный икоситетраэдр	O h
Ромбоикосододекаэдр	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников	60	120	3,4,5,4	Дельтоидальный гексеконтаэдр	I h
Ромбоусечённый кубооктаэдр	12 квадратов 8 шестиугольников 6 восьмиугольников	48	72	4,6,8	Гекзакисоктаэдр	O h
Ромбоусечённый икосододекаэдр	30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников	120	180	4,6,10	Гекзакисикосаэдр	I h
Курносый куб	32 треугольника 6 квадратов	24	60	3,3,3,3,4	Пентагональный икоситетраэдр	O
Курносый додекаэдр	80 треугольников 12 пятиугольников	60	150	3,3,3,3,5	Пентагональный гексеконтаэдр	I

Использование

Каталановы тела — наряду с платоновыми телами , равногранными бипирамидами и трапецоэдрами — используются в качестве игральных костей в некоторых настольных играх ( ). Архимедовы тела, у которых грани не равноправны и потому имеют разные шансы выпадения, для этой цели мало пригодны.

См. также

• Правильный многогранник
• Звёздчатый многогранник
• Призма
• Антипризма
• Многогранник Джонсона

Ссылки

• Ашкинузе В. Г. // Математическое просвещение . Вторая серия. — 1957. — Вып. 1 . — С. 107-118 .
• Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями// Записки научных семинаров ЛОМИ. Том 2 -- 1966.