Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна ) — схематичное изображение всех возможных отношений ( объединение , пересечение , разность , симметрическая разность ) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества . На диаграммах Венна универсальное множество ${\displaystyle U}$ изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества .

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов , для :

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов ,
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств ,
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений .

Диаграммы Венна при помощи ${\displaystyle n}$ фигур изображают все ${\displaystyle 2^{n}}$ комбинаций ${\displaystyle n}$ свойств, то есть конечную булеву алгебру . При ${\displaystyle n=3}$ диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом , приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат , понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы .

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна ( 1834 — 1923 ), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году .

Связь диаграмм Эйлера и Венна

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Венна изображают отношения между множествами : непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера . Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики . Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики .

На рис. ниже даны диаграммы Эйлера и Венна для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

• 
  диаграмма Эйлера
• 
  диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу) . Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна . Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

См. также

• Диаграмма Эйлера
• Карта Карно

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• от 21 апреля 2012 на Wayback Machine сериала Numb3rs — изображение диаграмм Венна для ${\displaystyle n=5,\;7,\;11}$ .
• от 18 мая 2016 на Wayback Machine для ${\displaystyle n=3,4,5}$ и исходный код.

Литература

• Множества, логика, аксиоматические теории. — М. : Мир, 1968. — 231 с.
• , Курс дискретной математики. — М. : МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X .
• Диаграммы Венна. История и применения. — М. : Наука, 1968. — 249 с.