Параллелепи́пед ( др.-греч. παραλληλ-επίπεδον от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма , все грани которой являются параллелограммами .

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Наклонный — боковые грани не перпендикулярны основанию.
• Прямой — боковые грани перпендикулярны основанию.
• Прямоугольный — все грани являются прямоугольниками .
• Ромбоэдр — все грани являются равными ромбами .
• Куб — все грани являются квадратами .

Основные элементы

• Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются «противоположными гранями»; например, грань AA ₁ D ₁ D противоположна грани BB ₁ C ₁ C
• Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются «смежными гранями»; например, грань AA ₁ D ₁ D смежна грани DD ₁ C ₁ C (имеется общее ребро DD ₁ )
• Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются «противоположными вершинами» ; например, вершина A противоположна вершине C ₁ (а вершина A не противоположна вершине C, поскольку они принадлежат одной грани ABCD)
• Отрезок , соединяющий противоположные вершины, называется « диагональю параллелепипеда »; например отрезок AC ₁
• Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют «измерениями прямоугольного параллелепипеда» ; например длины рёбер AD, DC и DD ₁ — имеют общую вершину D и являются измерениями прямоугольного параллелепипеда ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S _б = Р _о ⋅ h , где Р _о — периметр основания, h — высота.

Площадь полной поверхности S _п = S _б + 2 S _о , где S _о — площадь основания.

Объём V = S _о ⋅ h .

Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности S _б = 2 c ( a + b ), где a , b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности S _п = 2( ab + bc + ac ).

Объём V = abc , где a , b , c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Площадь поверхности ${\displaystyle S=6a^{2}}$ .

Объём ${\displaystyle V=a^{3}}$ , где ${\displaystyle a}$ — ребро куба.

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения .

Если координаты четырёх вершин параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, имеют целочисленные координаты, то объём этого параллелепипеда есть целое число.

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом ${\displaystyle B}$ понимают множество точек ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ вида ${\displaystyle B=\{x|a_{1}\leqslant x_{1}\leqslant b_{1},\ldots ,a_{n}\leqslant x_{n}\leqslant b_{n}\}}$

Сечение параллелепипеда плоскостью

В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.

См. также

• Параллелепипед Эйлера
• Параллелепипед Френеля

Примечания

Ссылки

• от 21 февраля 2020 на Wayback Machine