Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония . Для перехода из биполярных координат в декартовы координаты , служат следующие формулы:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x={\frac {a\,\mathrm {sh} \,\tau }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\\y={\frac {a\sin \sigma }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle 0\leqslant \sigma <\pi }$ , ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ .

Коэффициенты Ламе :

${\displaystyle L_{\tau }=L_{\sigma }={\frac {a^{2}}{(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}}.}$

Оператор Лапласа в биполярных координатах:

${\displaystyle \Delta f={\frac {(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}{a^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

В пространстве биполярные координаты обобщаются .

См. также

• Тороидальные координаты
• Биангулярные координаты

Это заготовка статьи по математике . Помогите Википедии, дополнив её.