Ёмкость Минковского — основное понятие в геометрической теории меры , обобщающее на произвольные измеримые множества понятия длины кривой на плоскости и площади поверхности в пространстве .

Ёмкость обычно применяется для фрактальных границ областей в евклидовом пространстве , но имеет смысл в контексте общих метрических пространств с мерой.

Названа в честь Германа Минковского .

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,\mu ,d)}$ метрическое пространство с мерой, где ${\displaystyle d}$ является метрикой на ${\displaystyle X}$ , а ${\displaystyle \mu }$ — это борелевская мера . Для подмножества ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle X}$ и вещественного ε > 0, обозначим через

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X\,|\,d(x,A)<\varepsilon \}}$

его замкнутую ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестность. Нижняя ёмкость Минковского коразмерности ${\displaystyle k}$ определяется как нижний предел

${\displaystyle M_{*}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k}}},}$

и верхняя ёмкость Минковского коразмерности ${\displaystyle k}$ как верхий предел

${\displaystyle M^{*}(A)=\limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k}}}.}$

Если ${\displaystyle M^{*}(A)=M_{*}(A)}$ , то их общее значение называется ёмкостью Минковского коразмерности ${\displaystyle k}$ A по мере μ, и обозначается ${\displaystyle M(A)}$ .

Свойства

• Если ${\displaystyle A}$ есть замкнутое ${\displaystyle n}$ - спрямляемое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$ , то ёмкость Минковского ${\displaystyle A}$ по отношению к объёму на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$ существует и совпадает с его ${\displaystyle n}$ -мерной мерой Хаусдорфа с точностью до нормализации.

См. также

• Размерность Минковского

Ссылки

• Федерер, Герберт , Геометрическая теория меры .