Interested Article - Изотомическое сопряжение

В планиметрии изотоми́ческим сопряже́нием называется одно из преобразований плоскости, порождаемое заданным на плоскости треугольником ABC .

Определение

Пусть дан треугольник , у которого — середина стороны , — середина и — середина стороны . Пусть также на плоскости выбрана произвольная точка , не лежащая на прямых, содержащих его стороны. Тогда рассмотрим прямые , и . Пусть они пересекают прямые, содержащие противолежащие стороны треугольника, соответственно в точках , и (если прямые окажутся параллельными, точкой пересечения считается бесконечно удалённая точка прямой). Согласно теореме Чевы , . Если теперь точки , и симметрично отразить относительно , и соответственно, получатся точки , и (бесконечно удалённая точка переходит сама в себя). Поскольку , и так же для остальных пар точек, получаем и, согласно той же теореме Чевы , прямые , и пересекаются в одной точке . Эта точка называется изотомически сопряжённой точке относительно треугольника .

Изотомическое сопряжение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости с исключёнными прямыми , и . На этих прямых соответствие не является взаимно-однозначным, так любой точке прямой соответствует вершина (и наоборот, вершине — всякая точка ) и так далее.

Координаты

Если барицентрические координаты точки суть , то барицентрические координаты изотомически сопряжённой ей точки суть .

Если трилинейные координаты точки суть , то трилинейные координаты изотомически сопряжённой ей точки суть .

Другое определение

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением . Оно также переводит прямые в описанные коники . При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые . При изотомическом сопряжении в перейдёт описанный эллипс Штейнера .

Свойства

  • Изотомическое сопряжение является инволюцией , то есть его квадрат тривиален.
  • Неподвижными точками (то есть переходящими сами в себя) изотомического сопряжения являются центроид (другие названия: барицентр или центр масс, то есть точка пересечения медиан) треугольника и точки, симметричные вершинам треугольника относительно середин противолежащих сторон.
  • Точки Жергонна и Нагеля изотомически сопряжены .
  • Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара .
  • Точке пересечения биссектрис ( инцентру ) изотомически сопряжена точка пересечения антибиссектрис ,
  • Прямые общего положения относительно треугольника при изотомическом сопряжении переходят в описанные вокруг него коники , и наоборот.

См. также

Ссылки

Источник —

Same as Изотомическое сопряжение