Interested Article - Тета-функция

Оригинальная тета-функция Якоби с и }}. Соглашения:

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных . Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий , пространства модулей и квадратичных форм . Они применяются также в теории солитонов . После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля .

Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций . По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой z ) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их . В абстрактной теории это получается из условия .

Тета-функция Якоби

Тета-функция 1 Якоби
Тета-функция 2 Якоби
Тета-функция 3 Якоби
Тета-функция 4 Якоби

Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения. Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби ), это функция, определённая от двух комплексных переменных z и , где z может быть любым комплексным числом , а ограничена верхней половиной плоскости , что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой

где и . Функция является . Если фиксировать , функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от z с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству

Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода и удовлетворяет функциональному уравнению

где a и b — целые числа.

Тета-функция с различными . Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении
Тета-функция с различными . Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении

Вспомогательные функции

Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:

Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами

Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд . Первоначальная формулировка Якоби была в терминах , а не . В обозначениях Якоби θ -функции записываются в виде:

Приведённые выше определения тета-функции Якоби далеко не единственные. См. статью с дальнейшим обсуждением.

Если мы положим в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых.

Тождества основная

Так называемые функции «тета-нульверт» ( Theta-Nullwert ) имеют следующее представление суммы и следующее представление произведения:

Тета-функция удовлетворяет следующему основному соотношению с «номеном q»:

Следующие две формулы определяют полный эллиптический интеграл первого типа и согласуются друг с другом:

Тождества Якоби

В частности Тождества Якоби определяется следующей формулой:

Эта формула представляет собой кривой Ферма четвертой степени.

Тождества Якоби также возникает как комбинация трех квадратичных соотношений:

Объединение этих трех формул дает следующую формулу:

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой , которая порождается отображениями и . Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к имеет тот же эффект, что и добавление к z ( mod 2). Во втором случае положим

Тогда

Тета-функции в терминах нома

Вместо выражения тета-функций в терминах z и мы можем выразить их в терминах аргумента w и q , где , а . В этом случае функции превращаются в

Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями , где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле p -адических чисел .

Представления произведений

Тройное произведение Якоби (специальный случай ) говорит нам, что для комплексных чисел w и q с и мы имеем

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта .

Если мы выразим тета-функцию в терминах томов и , то

Мы поэтому получаем формулу произведения для тета-функции вида

В терминах w и q :

где является q -символом Похгаммера , а является . Если раскрыть скобки, тройное произведение Якоби получит вид

что можно также переписать в виде

Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных z . Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций

Интегральные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

Явные значения

Лемнискатические значения

См. статью Джинхи Йи (2004) .

В следующей таблице приведены лемнискатические значения функций ϑ₁₀( x ) и ϑ₀₀( x ) :

x ϑ₁₀( x ) ϑ₀₀( x )

Дополнительные значения для ϑ₀₀( x ) :

И с греческой буквой показано Золотое сечение . Символом обозначена постоянная Гаусса , которая представляет собой отношение лемнискатической константы к числу π . Только что показанные значения были исследованы южнокорейским математиком Джинхи Йи из Пусанского национального университета (부산 대학교). Их результаты впоследствии были опубликованы в Журнале математического анализа и приложений. Кроме того, применяются следующие значения:

Эти два значения можно определить непосредственно с помощью формулы суммы Пуассона:

Эквиангармонические значения

Функция ϑ₀₀ имеет следующие эквиангармонические значения функции:

Некоторые эквиангармонические значения тета-функции были исследованы, в частности, математиками Брюсом Карлом Берндтом и Орсом Ребаком.

Значения тета над факториалами восьмых

Значения функции вида ϑ₀₁ :

Некоторые тождества с рядами

Следующие два тождества для рядов доказал Иштван Мезо :

Эти отношения выполняются для всех 0 < q < 1 . Фиксируя значения q , мы получим следующие свободные от параметров суммы

Нули тета-функций Якоби

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

,

где m , n являются произвольными целыми.

Связь с дзета-функцией Римана

Соотношение

использовал Риман для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина

и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены s на 1 − s . Cоответствующий интеграл для z ≠ 0 дан в статье о дзета-функции Гурвица .

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых четырёх тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса , поскольку

,

где вторая производная берётся по z , а константа c определена так, что ряд Лорана функции ℘( z ) в точке z = 0 имеет нулевой постоянный член.

Связь с q -гамма функцией

Четвёртая тета-функция – а тогда и остальные – неразрывно связана с соотношением .

Связь с эта-функцией Дедекинда

Пусть , а аргумент тета-функции представлен как . Тогда

и

См. также статью о .

Эллиптический модуль

J-инвариант равен

,

а дополнительный эллиптический модуль равен

Решение теплового уравнения

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиями . Принимая вещественным, а с вещественным и положительным t , мы можем записать

,

что решает уравнение теплопроводности

Это решение в виде тета-функции является 1-периодическим по x , и при оно стремится к периодической дельта-функции или гребню Дирака в смысле распределений

.

Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в с тета-функцией.

Связь с группой Гейзенберга

Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга . Эта инвариантность представлена в статье о группы Гейзенберга.

Обобщения

Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F , равна

с суммой по решётке целых чисел n . Эта тета-функция является модулярной формой с весом (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы . В разложении в ряд Фурье

числа называются числами представления формы.

Тета-функция Рамануджана

Риманова тета-функция

Пусть

является множеством симметричных квадратных матриц , мнимая часть которых положительно определена . n называется и является многомерным аналогом верхней полуплоскости . n -Мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа Sp(2 n , ) . Для . Роль n -мерного аналога конгруэнтных подгрупп играет

Тогда, если дано , тета-функция Римана определяется как

Здесь является n -мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование . Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с и , где является верхней полуплоскостью .

Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах .

Функциональное уравнение функции

которое выполняется для всех векторов и для всех }} и .

Ряд Пуанкаре

обобщает тета-ряд на автоморфные формы применительно к произвольным фуксовым группам .

Уравнения пятой степени

Решение формы Бринга-Джеррарда

Согласно Теореме Абеля-Руффини общее уравнение пятой степени не может быть решено в элементарной радикальной форме. Но общее решение вполне возможно с помощью эллиптических функций. С тета-функцией общий случай Уравнения пятой степени также может быть решен как функция эллиптического «номена q» из эллиптического модуля, который всегда «элементарен» в зависимости от коэффициентов. Для следующего уравнения пятой степени в форме Бринга-Джеррарда общее решение может быть представлено в упрощенной форме тета-функцией ϑ₀₀:

Для всех реальных значений имеет показанную сумму функции пятой степени и идентичную функцию отображения для в зависимости от точно реальное решение. И это фактическое решение может для всех действительных значений может быть вызвано точно по следующему алгоритму:

Método de resolución de las ecuaciones quínticas a través de la función theta
Уравнение Бринга – Джеррарда:

Значение эллиптической функции «Номен q»:

Актуальное решение для :

Три примера расчета

Ниже в качестве примеров рассматриваются три уравнения, которые можно решить с помощью тета-функции Якоби, но вообще нельзя решить с помощью элементарных корневых выражений:

Тот же образец процедуры применяется в следующем уравнении:

Это третий пример:

Примечания

  1. .
  2. , с. 381–400.
  3. , с. 2401–2410.
  4. , с. 692–704.
  5. , с. 431–450.

Литература

  • Yousuke Ohyama. // Osaka Journal of Mathematics. — 1995. — Т. 32 , вып. 2 . — С. 431–450 . — ISSN .
  • Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. sec. 16.27ff. // . — New York: Dover Publications, 1964. — ISBN 0-486-61272-4 .
  • Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1970. — (Физико-математическая библиотека инженера). — ISBN 0-8218-4532-2 .
  • Hershel M. Farkas, Irwin Kra. ch. 6 // Riemann Surfaces. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-90465-4 . . (обсуждение тета-функции Римана)
  • Hardy G. H. , Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. — 4th. — Oxford: Clarendon Press, 1959.
  • David Mumford . Tata Lectures on Theta I. — Boston: Birkhauser, 1983. — ISBN 3-7643-3109-7 .
  • James Pierpont. Functions of a Complex Variable. — New York: Dover Publications, 1959.
  • Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. — Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. — ISBN 0-683-07196-3 .
  • William P. Reinhardt, Peter L. Walker. Theta Functions // / Frank W. L. Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. — Cambridge University Press, 2010. — ISBN 978-0521192255 ,.
  • Whittaker E. T., Watson G. N. ch. 21 // A Course in Modern Analysis. — 4th. — Cambridge: Cambridge University Press, 1927. (история θ -функций Якоби)
  • Jinhee Yi. Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2004. — Т. 292 . — С. 381–400 . — doi : .
  • István Mező. A q -Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function // Journal of Number Theory. — 2012. — Т. 133 , вып. 2 . — С. 692–704 . — doi : .
  • István Mező. Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q -trigonometric functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2013. — Т. 141 , вып. 7 . — С. 2401–2410 . — doi : .

Литература для дальнейшего чтения

  • Тета-функции, Якоби эллиптические функции // Математическая энциклопедия / Виноградов И. В.. — Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — (Энциклопедии, словари, справочники).
  • Прасолов В. В., Соловьёв Ю. П. Алгебраические уравнения и тета-функции. — М. : МК НМУ, 1994.
  • Hershel M. Farkas. Theta functions in complex analysis and number theory // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. — Springer-Verlag , 2008. — Т. 17. — С. 57–87. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-387-78509-7 .
  • Bruno Schoeneberg. IX. Theta series // Elliptic modular functions. — Springer-Verlag , 1974. — Т. 203. — С. 203–226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X .
  • Тюрин А. Н. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции. — М. , 2003.
  • and , A Course in Modern Analysis , fourth edition, , 1927. (See chapter XXI for the history of Jacobi's θ functions)
  • und : π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity . Wiley-Interscience, 1987. pages 94–97.
  • Jonathan Borwein, Peter Borwein: Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Mean Iteration . Ch. 2 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pages 33–61, 1987.
  • Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution . , 2018,
  • : Modular Equations and Approximations to π. Quart. J. Pure. Appl. Math. Volumen 45, 350–372, 1913–1914.
  • Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction .
  • Jinhee Yi: Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications . , Band 292, Nr. 2, 2004, pages 381–400.
  • G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885.
  • C. Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form. In: Acta Math. Volume 7, pages 173–186, 1885, doi:10.1007/BF02402200.
  • F. Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus . N. 11. Mars. 1858. doi:10.1007/bf03197334 (zenodo.org).

Ссылки

  • Moiseev Igor. .
Источник —

Same as Тета-функция