Число Армстронга (также самовлюблённое число , совершенный цифровой инвариант ; англ. pluperfect digital invariant, PPDI ) — натуральное число , которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень , равную количеству его цифр. Иногда, чтобы считать число таковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, были равны m — тогда число можно назвать m -самовлюблённым.

Например, десятичное число 153 — число Армстронга, потому что

1 ³ + 5 ³ + 3 ³ = 153.

Формальное определение

Пусть ${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{k}d_{i}b^{i-1}}$ — число, записываемое ${\displaystyle d_{k}d_{k-1}...d_{1}}$ в системе счисления с основанием ${\displaystyle b}$ .

Если при некотором ${\displaystyle m}$ случится так, что ${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{k}{d_{i}}^{m}}$ , то ${\displaystyle n}$ является ${\displaystyle m}$ -самовлюблённым числом. Если, сверх того, ${\displaystyle m=k}$ , то ${\displaystyle n}$ можно назвать истинным числом Армстронга.

Очевидно, что при любом ${\displaystyle m}$ может существовать лишь конечное число ${\displaystyle m}$ -самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого ${\displaystyle k}$ , ${\displaystyle k\cdot 9^{k}<10^{k-1}-1}$ .

Упоминания в литературе

В « Апологии математика » Харди писал :

«Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр, например,

153 = 1 ³ + 5 ³ + 3 ³ , 370 = 3 ³ + 7 ³ + 0 ³ ,

371 = 3 ³ + 7 ³ + 1 ³ , 407 = 4 ³ + 0 ³ + 7 ³ .

Всё это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика.»

Числа Армстронга в десятичной системе

В десятичной системе существует всего 88 чисел Армстронга. В промежутке 1 <= N <= 10 находятся следующие 32 N-значные числа Армстронга :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54 748, 92 727, 93 084, 548 834, 1 741 725, 4 210 818, 9 800 817, 9 926 315, 24 678 050, 24 678 051, 88 593 477, 146 511 208, 472 335 975, 534 494 836, 912 985 153, 4 679 307 774.

Самое большое число Армстронга содержит 39 цифр: 115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401 .

Числа Армстронга в других системах счисления

• В троичной системе счисления : 1 ₃ , 2 ₃ , 12 ₃ , 22 ₃ , 122 ₃ , …
• В четверичной системе счисления : 1 ₄ , 2 ₄ , 3 ₄ , 130 ₄ , 131 ₄ , 203 ₄ , 223 ₄ , 313 ₄ , 332 ₄ , 1103 ₄ , ₄ , …

Похожие классы чисел

Иногда терминами «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел, которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например, таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, , числа Фридмана , счастливые билеты и тому подобные.

Примечания

Литература

• . Mathematics on Vacation. — Thomas Nelson & Sons Ltd., 1966. — С. 163—175.
• , Коксетер Г. Математические эссе и развлечения / Пер. с англ./Под ред. с предисл. и примеч. И. М. Яглома . — М. : Мир , 1986. — С. 26.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld . (англ.)
• (англ.)
• (англ.)