Проблема числа 196 — условное название нерешённой математической задачи : неизвестно, приведёт ли операция «перевернуть и сложить», применённая к числу 196 какое-то количество раз, к палиндрому .

Число Лишрел ( англ. Lychrel number ) — это натуральное число , которое не может стать палиндромом с помощью итеративного процесса «перевернуть и сложить» в десятичной системе счисления. Этот процесс называется 196-алгоритмом . Название «Lychrel», придуманное Уэйдом ВанЛэндингемом ( англ. Wade VanLandingham ), — неточная анаграмма имени его подруги, Шерил ( англ. Cheryl ). Строго доказанных чисел Лишрел не существует (для десятичной системы счисления; для некоторых других систем счисления доказанные числа Лишрел существуют), но многие числа предполагаются таковыми, причём наименьшее из них — число .

Перевернуть и сложить

Операция «Перевернуть и сложить» ( англ. Reverse-and-add ) заключается в том, чтобы сложить исходное число с его «перевёрнутой» копией, то есть числом, цифры которого записаны в обратном порядке. Например, 56 + 65 = 121, 521 + 125 = 646.

Эта операция может быть применена к любому натуральному числу. Если в результате применения этой операции N раз к некоторому числу будет получен палиндром , то такое число называют «отложенным палиндромом» , разрешающимся за N итераций. В отличие от отложенных палиндромов, для чисел Лишрел эта операция не приводит к получению палиндрома, сколько бы раз мы её не выполняли.

Некоторые числа (в частности, все однозначные и почти все двузначные числа) становятся палиндромами достаточно быстро — после применения всего нескольких операций. Так, около 80 % всех чисел, меньших 10 000, разрешаются в палиндром за 4 или меньше итерации. Около 91 % — за 7 и меньше итераций. И только два числа — 89 и 98 — требуют необычно много: 24 операции.

Вот несколько примеров отложенных палиндромов:

• 56 становится палиндромом после одной итерации: 56 + 65 = 121 .
• 57 становится палиндромом после двух итераций: 57 + 75 = 132, 132 + 231 = 363 .
• 59 становится палиндромом после трёх итераций: 59 + 95 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1111 .
• 89 требует необычно много — , прежде чем достичь палиндрома 8 813 200 023 188 (это наибольшее количество операций среди чисел до 10 000, о которых на текущий момент времени научному сообществу , что они разрешаются в палиндром).
• 10 911 достигает палиндрома 4 668 731 596 684 224 866 951 378 664 после .

Наименьшее число, начиная с 1 , которое, видимо, не образует палиндром, — трёхзначное число 196 . Это наименьшее известное потенциальное десятичное число Лишрел.

Наиболее отложенные палиндромы

Среди бесконечного количества отложенных палиндромов особенно интересны те числа, которые требуют наибольшего количества итераций для превращения в палиндром.

Так, 30 ноября 2005 года Джейсоном Дусеттом ( англ. Jason Doucette ) с помощью компьютера был найден отложенный палиндром , который после 261 итерации становится 119-значным палиндромом 44 562 665 878 976 437 622 437 848 976 653 870 388 884 783 662 598 425 855 963 436 955 852 489 526 638 748 888 307 835 667 984 873 422 673 467 987 856 626 544 . Это число являлось мировым рекордом среди на протяжении более чем 13 лет.

В мае 2017 года телеканал МИР24 сообщил, что московский школьник Андрей Щебетов обнаружил самый большой известный отложенный палиндром — . Однако, ничего интересного в этом числе нет, так как оно получено простой перестановкой пар симметричных цифр из числа, обнаруженного Джейсоном Дусеттом. Наибольшим известным 19-значным числом, разрешающимся за 261 итерацию является число , а самое большое известное число состоит из .

26 апреля 2019 года Роб ван Нобелен ( нидер. Rob van Nobelen ) установил новый мировой рекорд среди наиболее отложенных палиндромов: 23-значное число , которое превращается в палиндром за 288 шагов.

5 января 2021 года Антон Стефанов опубликовал 23-значные числа и , которые за 289 шагов превращаются в тот же палиндром, что и число, найденное Робом ван Нобеленом, установив новый рекорд. 14 октября 2021 года Дмитрий Маслов сообщил о том, что им было найдено меньшее 23-значное число, разрешающееся за 289 итераций: .

14 декабря 2021 года Дмитрий Маслов установил новый мировой рекорд среди наиболее отложенных палиндромов: 25-значное число , которое в результате 293 итераций становится 132-значным палиндромом. Это число является текущим мировым рекордом среди наиболее отложенных палиндромов.

Последовательность OEIS содержит 19 353 600 чисел, превращающихся в палиндром после 288 шагов.

Последовательность содержит список из 108 864 отложенных палиндромов, требующих 261 итерацию для превращения в палиндром. Она начинается с 1 186 060 307 891 929 990 и заканчивается .

Формульное объяснение

Допустим, что ${\displaystyle {\mathcal {n}}}$ — натуральное число. Определим функцию Лишрел для базовых чисел (см. связанные определения) ${\textstyle b>1\ F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ следующим образом:

${\displaystyle F_{b}(n)=n\ +\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{k-i-1}}$ ,

где ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1}$ это количество цифр в базовом числе ${\displaystyle b}$ , а

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b}}^{i+1}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

значение каждой цифры числа. Число является числом Лишрел, если не существует такого натурального числа ${\displaystyle i}$ , что ${\displaystyle F_{b}^{i+1}(n)=2F_{b}^{i}(n)}$ , где ${\displaystyle F^{i}}$ это ${\displaystyle i}$ итераций ${\displaystyle F}$ .

Новая проблема

В других системах счисления для некоторых чисел может быть доказано, что они не образуют никогда палиндром после последовательных итераций , но не было обнаружено таких доказательств для 196 и других десятичных чисел.

Существует гипотеза , что 196 и другие числа, которые пока ещё не стали палиндромом, являются числами Лишрел, но ни для одного числа нет строгого доказательства, что они являются таковыми. Подобные числа неофициально называют «кандидаты в числа Лишрел». Первые несколько кандидатов в чисел Лишрел последовательность в OEIS :

196 , 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879 , 887, 978, 986, 1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997 .

Выделенные жирным считаются базовыми числами Лишрел (см. ниже ). Компьютерные программы Джейсона Дусетта, Яна Петерса и Бенджамина Деспреса нашли другие кандидаты Лишрел. Более того, Бенджамин Деспрес выявил все базовые числа Лишрел, состоящие из менее, чем 17 цифр . Сайт Уэйда ВанЛэндингема содержит списки базовых чисел Лишрел для каждой длины числа .

Метод полного перебора , первоначально разработанный Джоном Уокером, был усовершенствован, чтобы использовать поведение при итерациях. Например, существует программа, созданная Вон Сьют, и она сохраняет только первые и последние несколько цифр каждой итерации, позволяя тестировать цифровые закономерности на протяжении миллионов итераций без необходимости сохранения каждой итерации в файл . Но пока не было придумано алгоритма , который бы обходил итеративный процесс.

Связанные определения

Термин нить или поток ( англ. thread ) придумал Джейсон Дусетт, обозначая так последовательность чисел, получаемых в результате итераций первоначального числа. Базовое число ( англ. seed ) и его связанные родственные ( англ. kin ) числа сходятся в одном потоке. Поток не включает исходное базовое число или его родственника , но только числа, которые являются общими для обоих, после того, как они сойдутся.

Базовые числа представляют собой подпоследовательность чисел Лишрел, то есть наименьшее число из каждого не производящего палиндром потока. Базовое число может быть само по себе палиндромом. Первые три примера выделены полужирным шрифтом в приведённом выше списке.

Родственные числа представляют собой подмножество чисел Лишрел, которые включают все числа потока, за исключением базового, или любое число, которое вольётся в данный поток после одной итерации. Этот термин был представлен Кодзи Ямаситой в 1997 году.

Эстафета числа 196

Поскольку число 196 является наименьшим кандидатом в числа Лишрел, оно получило наибольшее внимание.

начал эстафету, посвящённую изучению потока «196», 12 августа 1987 года на рабочей станции Sun 3/260. Он написал программу на C , которая выполняет итерации «перевернуть и сложить» и проверяет на палиндром после каждого шага. Программа была запущена в фоновом режиме с низким приоритетом. Она сбрасывала итерационные результаты в файл каждые два часа и в момент закрытия системы, записывая достигнутые к тому времени число и номер итерации. Она перезапускалась сама автоматически из последней контрольной точки после каждого включения компьютера. Она работала в течение почти трёх лет, а затем остановилась (как было запрограммировано) 24 мая 1990 года с сообщением:

196 увеличилось до числа в один миллион разрядов после 2 415 836 итераций без достижения палиндрома. Уокер опубликовал свои выводы в Интернете вместе с последней контрольной точкой, приглашая других возобновить поиски на основе последнего достигнутого числа.

В 1995 году Тим Ирвин использовал суперкомпьютер тех лет, достигнув отметки в два миллиона цифр всего за три месяца, опять не найдя палиндром. Джейсон Дусетт затем присоединился к этому количественному направлению и достиг 12,5 миллионов цифр в мае 2000 года. Уэйд ВанЛэндингем, используя программу Джейсона Дусетта, достиг 13 миллионов цифр, что было опубликовано в — канадском научном журнале для детей. С июня 2000 года Уэйд ВанЛэндингем продолжал нести флаг первенства, используя программы, написанные различными энтузиастами. К 1 мая 2006 года ВанЛэндингем достиг отметки 300 миллионов цифр (со скоростью одного миллиона цифр каждые 5-7 дней). Используя распределённые вычисления , в 2011 году Ромен Дольбо ( фр. Romain Dolbeau ) совершил миллиард итераций и получил число, состоящее из 413 930 770 цифр , в июле 2012 года его вычисления достигли числа с 600 млн цифр, а в феврале 2015 количество цифр перевалило за 1 миллиард , но палиндром так и не был обнаружен.

Другие кандидаты в числа Лишрел, которые подвергались такому же перебору, включают 879, 1997, 7059 и другие базовые числа: они были прослежены на протяжении миллионов и десятков миллионов итераций без обнаружения палиндрома .

Примечания

Ссылки

• (англ.) — три года вычислений.
• (англ.) — около двух месяцев вычислений.
• (англ.) — «Эстафета числа 196», наиболее отложенные палиндромы.
• (англ.) .
• и другие числа Лишрел. Сайт Wade VanLandingham (англ.) .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Клара Зискин. Упоминание проблемы в русскоязычной литературе.
• — Дмитрий Маслов, проект MDPN.
• — Дмитрий Маслов, проект MDPN.