Алгебраическая кривая , или плоская алгебраическая кривая , — это, в простейшем случае, множество нулей многочлена двух переменных. Степенью или порядком алгебраической кривой называется степень этого многочлена.

Например, единичная окружность , задающаяся уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ , является алгебраической кривой второй степени, поскольку совпадает с множеством нулей многочлена ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1}$ .

Плоские алгебраические кривые с первой по восьмую степень соответственно называют прямыми , кониками , кубиками , квартиками, пентиками, секстиками, септиками и октиками. В алгебраической геометрии также рассматривают не только вещественные нули многочленов, но и комплексные . Более того, многочлены могут рассматриваться над произвольными полями .

Так, обобщенная плоская аффинная алгебраическая кривая над полем ${\displaystyle k}$ определяется как множество тех пар из ${\displaystyle K\times K}$ , где ${\displaystyle K}$ — алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle k}$ , которые являются корнями многочлена от двух переменных с коэффициентами в ${\displaystyle k}$ . Такие пары называются точками этой кривой. Те точки кривой, каждая координата которых лежит в ${\displaystyle k}$ , называются ${\displaystyle k}$ -точками , а множество ${\displaystyle k}$ -точек называется ${\displaystyle k}$ -частью кривой.

Например, точка ${\displaystyle (2,{\sqrt {-3}})}$ принадлежит рассмотренной выше единичной окружности, однако не принадлежит её вещественной ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -части. Кроме того, многочлен ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1}$ задаёт алгебраическую кривую, вещественная часть которой пуста. Тем не менее, сама кривая не является пустой.

Также в алгебраической геометрии рассматривают более общие алгебраические кривые, которые содержатся не обязательно в двумерных, а в пространствах с большим числом измерений, и также в проективных пространствах .

Оказывается, многие свойства алгебраической кривой не зависят от выбора конкретного вложения в некоторое пространство, что приводит к следующему общему определению алгебраической кривой.

Алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие размерности 1. Иными словами, алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие, каждое алгебраическое подмногообразие которого является одноточечным.

Примеры алгебраических кривых

Рациональные кривые

Рациональная кривая , также известная как уникурсальная кривая , — это кривая, бирационально эквивалентная аффинной прямой (или проективной прямой ); другими словами, кривая, допускающая рациональную параметризацию.

Более конкретно, рациональная кривая в n -мерном пространстве может быть параметризована (за исключением некоторого числа изолированных «особых точек») при помощи n рациональных функций от единственного параметра t .

Любое коническое сечение над полем рациональных чисел, содержащее хотя бы одну рациональную точку, является рациональной кривой . Её можно параметризовать, проведя через рациональную точку прямую с произвольным угловым коэффициентом t и сопоставив данному t вторую точку пересечения прямой и коники (их не может быть больше двух).

Например, рассмотрим эллипс x ² + xy + y ² = 1 с рациональной точкой (−1, 0). Проведя через неё прямую y = t ( x + 1) , подставив выражение y через x в уравнение и решив относительно x , получим уравнения

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}},}$

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,}$

задающие рациональную параметризацию эллипса. В таком виде представимы все точки эллипса, кроме точки (−1, 0); можно сопоставить ей t = ∞ , то есть параметризовать эллипс проективной прямой.

Эту рациональную параметризацию можно рассматривать как параметризацию «эллипса в проективном пространстве », перейдя к однородным координатам , то есть заменив t на T / U , а x , y — на X / Z , Y / Z соответственно. Параметризация эллипса X ² + XY + Y ² = Z ² проективной прямой примет следующий вид:

${\displaystyle X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.}$

Эллиптические кривые

Рациональные кривые (над алгебраически замкнутым полем) — это в точности алгебраические кривые рода 0 (см. ), в этой терминологии эллиптические кривые — это кривые рода 1 с рациональной точкой. Любая такая кривая может быть представлена как кубика без особенностей .

Эллиптическая кривая несёт на себе структуру абелевой группы . Сумма трёх точек на кубике равна нулю тогда и только тогда, когда эти точки коллинеарны .

Пересечение двух коник является кривой четвёртого порядка рода 1, а значит, эллиптической кривой, если содержит хотя бы одну рациональную точку. В противном случае пересечение может быть рациональной кривой четвёртого порядка с особенностями, или быть разложимым на кривые меньшего порядка (кубика и прямая, две коники, коника и две прямые или четыре прямые).

Связь с полями функций

Изучение алгебраических кривых может быть сведено к изучению неприводимых кривых (то есть не раскладывающихся в объединение двух меньших кривых). Каждой такой кривой можно сопоставить поле рациональных функций на ней; оказывается, что кривые бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. Это значит, что категория алгебраических кривых и рациональных отображений двойственна категории одномерных полей алгебраических функций, то есть полей, являющихся алгебраическими расширениями поля ${\displaystyle k(x)}$ .

Комплексные кривые как действительные поверхности

Комплексная алгебраическая кривая, вложенная в аффинное или проективное пространство, имеет топологическую размерность 2, другими словами, является поверхностью . В частности, комплексная алгебраическая кривая без особенностей является двумерным ориентируемым многообразием .

Топологический род этой поверхности совпадает с родом алгебраической кривой (который можно вычислить алгебраическими способами). Если проекция кривой без особенностей на плоскость является алгебраической кривой степени d с простейшими особенностями ( обыкновенными двойными точками ), то исходная кривая имеет род ( d − 1)( d − 2)/2 − k , где k — число этих особенностей.

Изучение компактных римановых поверхностей состоит фактически в изучении комплексных алгебраических кривых без особенностей, рассматриваемых как поверхности с дополнительной аналитической структурой. Более точно, следующие категории эквивалентны :

• Категория проективных алгебраических кривых без особенностей (с рациональными отображениями в качестве морфизмов).
• Категория компактных римановых поверхностей и голоморфных функций .

Классификация особенностей

Особые точки включают в себя несколько типов точек, в которых кривая «пересекает сама себя», а также различные типы точек возврата . Например, на рисунке показана кривая x ³ − y ² = 0 с точкой возврата в начале координат.

Особые точки можно классифицировать по их инвариантам . Например, особую точку с дельта-инвариантом δ можно интуитивно описать как точку, в которой встречаются сразу δ «самопересечений». В случае точки P на неприводимой кривой δ можно вычислить как длину модуля ${\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}/{\mathcal {O}}_{P}}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$ — локальное кольцо в точке P и ${\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}}$ — его целое замыкание . Вычисление дельта-инвариантов всех особых точек позволяет вычислить род кривой по формуле:

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}$

Другие важные инварианты: кратность m особенности (максимальное целое число, такое что все производные задающего кривую многочлена, порядок которых не превосходит m , равны нулю) и .

См. также

• Категория Алгебраические кривые

Примечания

Литература

• Ж.-П. Серр . Алгебраические группы и поля классов. — М. : Мир, 1968. — 285 с.
• Джон Милнор . Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М. : Мир, 1971. — 121 с.
• Egbert Brieskorn, Horst Knörrer. Plane Algebraic Curves. — Birkhäuser, 1986.
• Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemann Surfaces. — Springer, 1980.
• W. Fulton . .
• C.G. Gibson. . — Cambridge University Press, 1998.
• специальные плоские кривые от 21 июня 2018 на Wayback Machine (рус.)