Interested Article - Меандр (математика)

Меандр или замкнутый меандр — это замкнутая кривая без самопересечений, которая пересекает прямую несколько раз. Интуитивно, меандр можно рассматривать как дорогу, пересекающую реку мостами в нескольких местах.

Меандр

Если задана ориентированная прямая L на плоскости R 2 , меандр порядка n — это замкнутая кривая без самопересечений на R 2 , которая поперечно пересекает прямую в 2 n точках для некоторого положительного n . Прямая и кривая вместе образуют меандровую систему . Говорят, что два меандра эквивалентны, если существует гомеоморфизм всей плоскости, которая переводит L в себя, а один меандр в другой.

Пример

Меандр порядка 1 пересекает прямую дважды:

Меандр порядка 1

Меандровые числа

Число различных меандров порядка n называется меандровым числом M n . Первые пятнадцать меандровых чисел (последовательность в OEIS ).

M 1 = 1
M 2 = 2
M 3 = 8
M 4 = 42
M 5 = 262
M 6 = 1828
M 7 = 13820
M 8 = 110954
M 9 = 933458
M 10 = 8152860
M 11 = 73424650
M 12 = 678390116
M 13 = 6405031050
M 14 = 61606881612
M 15 = 602188541928

Меандровые перестановки

Меандровая перестановка
(1 8 5 4 3 6 7 2)

Меандровая перестановка порядка n задаётся на множестве {1, 2, …, 2 n } и определяется меандровой системой следующим образом:

  • Для прямой, ориентированной слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечаются целыми числами, начиная с 1.
  • Кривая с точки пересечения, помеченной 1, ориентируется вверх.
  • Циклическая перестановка без фиксированных точек получается проходом ориентированной кривой через помеченные точки.

На диаграмме справа меандрическая перестановка порядка 4 задаётся перестановкой (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка , записанная в циклической нотации , её не следует путать с линейной нотацией.

Если π является меандровой перестановкой, то π 2 состоит из двух циклов , одна содержит все чётные элементы, другая — все нечётные. Перестановки с такими свойствами называется чередующимися перестановками (не путать с чередующимися в смысле возрастания-убывания ). Однако не все чередующиеся перестановки являются меандровыми, поскольку кривые для некоторых перестановок нельзя нарисовать без самопересечений. Например, чередующаяся перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) меандровой не является.

Открытый меандр

Если задана фиксированная ориентированная прямая L на плоскости R 2 , открытый меандр порядка n — это ориентированная кривая без самопересечений на R 2 , которая пересекает прямую в n точках для некоторого положительного целого числа n . Говорят, что два открытых меандра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Примеры

Открытый меандр порядка 1 пересекает прямую один раз:

Открытый меандр порядка 2 пересекает прямую дважды:

Открытые меандровы числа

Число различных открытых меандров порядка n называется открытым меандровым числом m n . Первые пятнадцать открытых меандровых чисел (последовательность в OEIS ).

m 1 = 1
m 2 = 1
m 3 = 2
m 4 = 3
m 5 = 8
m 6 = 14
m 7 = 42
m 8 = 81
m 9 = 262
m 10 = 538
m 11 = 1828
m 12 = 3926
m 13 = 13820
m 14 = 30694
m 15 = 110954

Полумеандр

Если дан ориентированный луч R на плоскости R 2 , полумеандр порядка n — — это непересекающаяся кривая в R 2 , которая пересекает луч в n точках для некоторого положительного n . Говорят, что два полумендра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Примеры

Полумеандр порядка два пересекает луч дважды:

Полумеандр порядка два

Полумеандровые числа

Количество различных полумеандровых чисел порядка n называется полумеандровым числом M n (обычно обозначается надчёркиванием, а не подчёркиванием). Первые пятнадцать полумеандровых чисел (последовательность в OEIS ).

M 1 = 1
M 2 = 1
M 3 = 2
M 4 = 4
M 5 = 10
M 6 = 24
M 7 = 66
M 8 =
M 9 = 504
M 10 = 1406
M 11 = 4210
M 12 = 12198
M 13 = 37378
M 14 = 111278
M 15 = 346846

Свойства меандровых чисел

Существует инъекция из меандровых чисел в открытые меандровые числа:

M n = m 2 n −1

Любое меандровое число может быть ограничены полумеандровыми числами:

M n M n M 2 n

Для n > 1 меандрические числа чётны:

M n ≡ 0 (mod 2)

Примечания

Литература

Ссылки

Источник —

Same as Меандр (математика)