Interested Article - Меандр (математика)
- 2021-08-18
- 1
Меандр или замкнутый меандр — это замкнутая кривая без самопересечений, которая пересекает прямую несколько раз. Интуитивно, меандр можно рассматривать как дорогу, пересекающую реку мостами в нескольких местах.
Меандр
Если задана ориентированная прямая L на плоскости R 2 , меандр порядка n — это замкнутая кривая без самопересечений на R 2 , которая поперечно пересекает прямую в 2 n точках для некоторого положительного n . Прямая и кривая вместе образуют меандровую систему . Говорят, что два меандра эквивалентны, если существует гомеоморфизм всей плоскости, которая переводит L в себя, а один меандр в другой.
Пример
Меандр порядка 1 пересекает прямую дважды:
Меандровые числа
Число различных меандров порядка n называется меандровым числом M n . Первые пятнадцать меандровых чисел (последовательность в OEIS ).
- M 1 = 1
- M 2 = 2
- M 3 = 8
- M 4 = 42
- M 5 = 262
- M 6 = 1828
- M 7 = 13820
- M 8 = 110954
- M 9 = 933458
- M 10 = 8152860
- M 11 = 73424650
- M 12 = 678390116
- M 13 = 6405031050
- M 14 = 61606881612
- M 15 = 602188541928
Меандровые перестановки
Меандровая перестановка порядка n задаётся на множестве {1, 2, …, 2 n } и определяется меандровой системой следующим образом:
- Для прямой, ориентированной слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечаются целыми числами, начиная с 1.
- Кривая с точки пересечения, помеченной 1, ориентируется вверх.
- Циклическая перестановка без фиксированных точек получается проходом ориентированной кривой через помеченные точки.
На диаграмме справа меандрическая перестановка порядка 4 задаётся перестановкой (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка , записанная в циклической нотации , её не следует путать с линейной нотацией.
Если π является меандровой перестановкой, то π 2 состоит из двух циклов , одна содержит все чётные элементы, другая — все нечётные. Перестановки с такими свойствами называется чередующимися перестановками (не путать с чередующимися в смысле возрастания-убывания ). Однако не все чередующиеся перестановки являются меандровыми, поскольку кривые для некоторых перестановок нельзя нарисовать без самопересечений. Например, чередующаяся перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) меандровой не является.
Открытый меандр
Если задана фиксированная ориентированная прямая L на плоскости R 2 , открытый меандр порядка n — это ориентированная кривая без самопересечений на R 2 , которая пересекает прямую в n точках для некоторого положительного целого числа n . Говорят, что два открытых меандра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.
Примеры
Открытый меандр порядка 1 пересекает прямую один раз:
Открытый меандр порядка 2 пересекает прямую дважды:
Открытые меандровы числа
Число различных открытых меандров порядка n называется открытым меандровым числом m n . Первые пятнадцать открытых меандровых чисел (последовательность в OEIS ).
- m 1 = 1
- m 2 = 1
- m 3 = 2
- m 4 = 3
- m 5 = 8
- m 6 = 14
- m 7 = 42
- m 8 = 81
- m 9 = 262
- m 10 = 538
- m 11 = 1828
- m 12 = 3926
- m 13 = 13820
- m 14 = 30694
- m 15 = 110954
Полумеандр
Если дан ориентированный луч R на плоскости R 2 , полумеандр порядка n — — это непересекающаяся кривая в R 2 , которая пересекает луч в n точках для некоторого положительного n . Говорят, что два полумендра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.
Примеры
Полумеандр порядка два пересекает луч дважды:
Полумеандровые числа
Количество различных полумеандровых чисел порядка n называется полумеандровым числом M n (обычно обозначается надчёркиванием, а не подчёркиванием). Первые пятнадцать полумеандровых чисел (последовательность в OEIS ).
- M 1 = 1
- M 2 = 1
- M 3 = 2
- M 4 = 4
- M 5 = 10
- M 6 = 24
- M 7 = 66
- M 8 =
- M 9 = 504
- M 10 = 1406
- M 11 = 4210
- M 12 = 12198
- M 13 = 37378
- M 14 = 111278
- M 15 = 346846
Свойства меандровых чисел
Существует инъекция из меандровых чисел в открытые меандровые числа:
- M n = m 2 n −1
Любое меандровое число может быть ограничены полумеандровыми числами:
- M n ≤ M n ≤ M 2 n
Для n > 1 меандрические числа чётны:
- M n ≡ 0 (mod 2)
Примечания
Литература
- в журнале Квант авторства В. И. Арнольда
Ссылки
- 2021-08-18
- 1