Дро́бно-лине́йная фу́нкция — это числовая функция , которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции .

Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае ${\displaystyle n}$ -мерное числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай:

• при ${\displaystyle n=1}$ как в вещественном, так и комплексном пространстве — рациональной функции , отображающей в общем случае одномерное числовое пространство само в себя с помощью многочленов одной переменной произвольной степени ;
• при ${\displaystyle n=1}$ в комплексном пространстве — дробно-линейного преобразования , отображающего в общем случае многомерное комплексное пространство само в себя;
• при ${\displaystyle n=1}$ в комплексном и при ${\displaystyle n=2}$ в вещественном пространстве, инвертируя относительно окружностей , — частный случай преобразования Мёбиуса .

Формальное определение

Дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},}$

где ${\displaystyle \mathbb {U} }$ — комплексные ( ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) или вещественные ( ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ) числа, ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ — соответственно комплексные или вещественные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$ .

Возможно обобщение на кватернионы .

Вырожденные случаи :

• если

${\displaystyle |c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,}$

то дробно-линейная функция становится целой линейной функций ;

• если ранг матрицы

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right)}$

равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную .

У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции :

• ${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;}$
• равен двум ранг матрицы

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right).}$

Вещественная дробно-линейная функция

Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},}$

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — вещественные числа, ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ — вещественные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — вещественные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$ .

Функция одной переменной

В простейшем случае ${\displaystyle n=1}$ и действительных

${\displaystyle x_{1}=x,}$ ${\displaystyle a_{1}=a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c_{1}=c,}$ ${\displaystyle d}$

график дробно-линейной функции

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ —

равнобочная гипербола с асимптотами

${\displaystyle x=-d/c}$

и

${\displaystyle y=a/c,}$

параллельными осям координат .

Асимптоты гиперболы

Пусть дробно-линейная функция одного переменного

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}}$

несократима, то есть ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ , и не сводится к целой линейной функции, то есть ${\displaystyle c\neq 0}$ . Выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle y={\frac {{\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{x+{\frac {d}{c}}}}={\frac {{\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{x+{\frac {d}{c}}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}.}$

Теперь ясно, что график функции ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$ получается из графика ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ следующими элементарными преобразованиями:

• растяжением в ${\displaystyle \left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|}$ раз по оси ${\displaystyle Oy}$ , причём в случае ${\displaystyle ad-bc>0}$ с отражением относительно оси ${\displaystyle Ox}$ ;
• перенесением параллельно оси ${\displaystyle Ox}$ на ${\displaystyle -{\frac {d}{c}}}$ ;
• перенесением параллельно оси ${\displaystyle Oy}$ на ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ .

Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$ — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые ${\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle y={\frac {a}{c}}}$ — асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right),}$ не принадлежащая кривой, — её центр .

Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$ :

• «теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке ${\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}$ ;
• на интервалах ${\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)}$ и ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},+\infty \right)}$ функция везде возрастает при ${\displaystyle ad-bc>0}$ и везде убывает при ${\displaystyle ad-bc<0}$ ;
• при неограниченном увеличении ${\displaystyle |x|}$ значения функции неограниченно приближаются к ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ , что видно также из преобразования

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}.}$

Производная :

${\displaystyle \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}\right)'={\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})^{2}}}.}$

Неопределённый интеграл :

${\displaystyle \int \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}\right)dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right|+C.}$

Каноническое уравнение гиперболы

Сначала приведём функцию

${\displaystyle y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}}$

преобразованиями координат

${\displaystyle x'=x+{\frac {d}{c}},}$ ${\displaystyle y'=y-{\frac {a}{c}},}$ ${\displaystyle m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}}$

к простейшему виду

${\displaystyle y'={\frac {m}{x'}}}$ ,

который называется уравнением обратной пропорциональности величин ${\displaystyle x'}$ и ${\displaystyle y'}$ .

Теперь повернём координатные оси на угол ${\displaystyle 45^{\circ },}$ сделав замену координат

${\displaystyle x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ })={\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}},}$

${\displaystyle y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ })={\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}},}$

получим в новых координатах :

${\displaystyle x'y'=m,}$ ${\displaystyle {\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,}$

${\displaystyle {\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.}$

Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями ${\displaystyle a=b={\sqrt {2|m|}}.}$

Функция двух переменных

В случае ${\displaystyle n=2}$ и действительных ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2},}$ ${\displaystyle a_{1},}$ ${\displaystyle a_{2},}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c_{1},}$ ${\displaystyle c_{2},}$ ${\displaystyle d}$ график дробно-линейной функции

${\displaystyle y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d}}}$

представляет собой гиперболический параболоид .

Комплексная дробно-линейная функция

Комплексная дробно-линейная функция — числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$

где ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — комплексные числа, ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ — комплексные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — комплексные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$ .

При ${\displaystyle n=1}$ комплексная дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ —

аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ , за исключением точки ${\displaystyle z=-d/c}$ , в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюс .

При ${\displaystyle n\geqslant 1}$ комплексная дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$ —

мероморфная функция в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ комплексных переменных ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ , имеющая полярное множество

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d=0\}}$ .

Примечания

Источники

• Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции // Энциклопедия элементарной математики . Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина . М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил. С. 11—139.
• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384.
• Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. 13-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 238 с., ил. ISBN 5-9221-0252-4 .
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6 .
• Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.