Гомеоморфи́зм — непрерывное обратимое преобразование пространства . Является центральным понятием топологии .

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы , длины , площади , объёмы и кривизну , растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными , если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства эквивалентны .

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств . Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: ὅμοιος — похожий и μορφή — форма.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}$ — два топологических пространства . Функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется гомеоморфизмом , если:

• ${\displaystyle f}$ взаимно однозначна ;
• ${\displaystyle f}$ непрерывна ;
• обратная функция ${\displaystyle f^{-1}}$ непрерывна.

Иными словами, ${\displaystyle f}$ биективна и для любого подмножества ${\displaystyle A\subseteq X}$ условие ${\displaystyle A\in {\mathcal {T}}_{X}}$ выполняется в том и только в том случае, если ${\displaystyle f(A)\in {\mathcal {T}}_{Y}}$ .

Если между пространствами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ существует гомеоморфизм, то пишут ${\displaystyle X\simeq Y}$ или ${\displaystyle X\cong Y}$ и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными . Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом .

Примеры

• На плоскости любые два выпуклых многоугольника гомеоморфны.

• Пространства разной мощности не гомеоморфны. Два пространства, наделённых дискретной топологией , гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.

• Произвольный открытый интервал ${\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} }$ гомеоморфен всей вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Гомеоморфизм ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ задаётся, например, формулой

${\displaystyle f(x)=\mathrm {ctg} \left(\pi {\frac {x-a}{b-a}}\right).}$

В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.

• Отрезок ${\displaystyle [0,\;1]}$ не гомеоморфен вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Это связано с тем, что отрезок компактен , а прямая — нет.

• Если ${\displaystyle n\neq m}$ , то ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\not \cong \mathbb {R} ^{m}}$ .

• Теорема о гомеоморфизме ^{[ источник не указан 387 дней ]} . Пусть ${\displaystyle |a,b|\subset \mathbb {R} }$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть ${\displaystyle f:|a,b|\to f{\bigl (}|a,b|{\bigr )}\subset \mathbb {R} }$ — биекция. Тогда ${\displaystyle f}$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ строго монотонна и непрерывна на ${\displaystyle |a,b|.}$

Топологические инварианты и свойства

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом . Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности , размерность , эйлерова характеристика , числа Бетти , фундаментальная группа , группы гомологий и когомологий , гомотопические группы .

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим , если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость , все виды отделимости , связность и линейная связность , компактность , односвязность , свойство быть топологическим многообразием .

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности . Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия .

Локальный гомеоморфизм

Непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом , если у каждой точки пространства ${\displaystyle X}$ имеется такая окрестность ${\displaystyle U}$ , что образ ${\displaystyle f(U)}$ открыт в ${\displaystyle Y}$ и сужение ${\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)}$ является гомеоморфизмом .

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение ${\displaystyle x\to (\cos x,\sin x)}$ является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ в окружность ${\displaystyle S^{1}}$ . Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений ${\displaystyle (0,1)\to {\mathbb {R} }}$ и ${\displaystyle [0,1]\to {\mathbb {R} }}$ первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность , локальная линейная связность , локальная компактность , локальная односвязность и локальная метризуемость .

См. также

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Универсальный гомеоморфизм

Примечания

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука , 1984. — Т. 2. — С. 41.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7 .
• Тимофеева Н. В. . — ЯГПУ , 2007.
• Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с.
• Виро О. Я. , Иванов О. А. , Нецветаев Н. Ю. , Харламов В. М. Элементарная топология (рус.) . — 2-е изд., исправл.. — М. : МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 .

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4