Естественная параметризация (или натуральная параметризация ) — параметризация кривой длиной её дуги. То есть параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки O , которая может быть выбрана произвольно. Такой параметр называется натуральным (часто обозначается s ).

Тем самым, естественная параметризация кривой определена однозначно с точностью до выбора точки отсчета O (соответствующей нулевому значению натурального параметра) и ориентации, то есть выбора направления, в котором при удалении от O параметр возрастает.

Определение

Кривая ${\displaystyle \gamma }$ в метрическом пространстве снабжена естественной параметризацией, если для любых двух значений параметра ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ длина дуги ${\displaystyle \gamma |_{[a,b]}}$ равна ${\displaystyle |b-a|}$ .

Свойства

• Кривая допускает естественную параметризацию тогда и только тогда, когда она является локально спрямляемой .
• Естественная параметризация ${\displaystyle k}$ раз дифференцируемой (аналитической) кривой без особых точек является также ${\displaystyle k}$ раз дифференцируемой (аналитической).
• Производная радиус-вектора ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}}$ имеет единичную длину и поэтому совпадает с единичным вектором касательной , который обозначается ${\displaystyle \mathbf {v} .}$
• Вторая производная радиус-вектора ${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}={\frac {d\mathbf {v} }{ds}}}$ ортогональна первой, то есть ортогональна касательной к кривой в данной точке, и следовательно, является нормалью. Кроме того, по длине она совпадает с кривизной кривой ${\displaystyle k}$ , а по направлению — с её главной нормалью ${\displaystyle \mathbf {n} }$ .
• Для кривой на плоскости указанные выше свойства приводят к следующим соотношениям, называемым формулами Френе :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{ds}}=k\,\mathbf {n} ,\ \ \ {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=-k\,\mathbf {v} .}$

Первое из соотношений Френе очевидно вытекает из предыдущего свойства и определения кривизны ${\displaystyle k}$ . Для доказательства второго соотношения воспользуемся тождествами

${\displaystyle \langle \mathbf {n} (s),\mathbf {n} (s)\rangle \equiv 1,\ \ \ \langle \mathbf {n} (s),\mathbf {v} (s)\rangle \equiv 0,}$

где треугольные скобки обозначают скалярное произведение объемлющей евклидовой плоскости. Дифференцируя по ${\displaystyle s}$ первое тождество, получаем ${\displaystyle {\Bigl \langle }{\frac {d\mathbf {n} }{ds}},\mathbf {n} {\Bigr \rangle }\equiv 0,}$ означающее, что вектор ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}}$ параллелен вектору ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ то есть ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=\mu \mathbf {v} }$ с некоторым скалярным коэффициентом ${\displaystyle \mu }$ . Дифференцируя второе тождество, получаем ${\displaystyle {\Bigl \langle }{\frac {d\mathbf {n} }{ds}},\mathbf {v} {\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }\mathbf {n} ,{\frac {d\mathbf {v} }{ds}}{\Bigr \rangle }\equiv 0.}$ Подставляя сюда ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=\mu \mathbf {v} }$ и ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{ds}}=k\mathbf {n} }$ , получаем ${\displaystyle \mu \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle +k\langle \mathbf {n} ,\mathbf {n} \rangle \equiv 0.}$ Отсюда с учетом ${\displaystyle |\mathbf {v} |\equiv |\mathbf {n} |\equiv 1}$ , получаем ${\displaystyle \mu =-k,}$ что и требовалось доказать.

См. также

• Дифференциальная геометрия кривых
• Длина кривой

Литература

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.

• Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X .

• Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135 .

Ссылки