Interested Article - Ретракт
ayesha
- 2021-10-17
- 1
Ретракт топологического пространства — подпространство этого пространства, для которого существует ретракция на ; то есть непрерывное отображение , тождественное на (то есть такое, что при всех ).
Ретракт топологического пространства наследует многие важные свойства самого пространства. В то же время он может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования.
Примеры
- Одноточечное множество является ретрактом отрезка, прямой, плоскости и т. д.
- Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его ретрактом.
- -мерная сфера не является ретрактом -мерного шара евклидова пространства, так как шар имеет нулевые группы гомологий , а сфера — ненулевую группу . Это противоречит существованию ретракта, так как ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.
Связанные определения
- Подпространство пространства называется окрестностным ретрактом , если в существует открытое подпространство, содержащее , ретрактом которого является .
- Метризуемое пространство называется абсолютным ретрактом ( абсолютным окрестностным ретрактом ), если оно является ретрактом (соответственно окрестностным ретрактом) всякого метризуемого пространства, содержащего в качестве замкнутого подпространства.
- Если ретракция пространства на его подпространство гомотопна тождественному отображению пространства на себя, то называется деформационным ретрактом пространства .
- Линейный оператор в топологическом векторном пространстве , являющийся ретракцией, называется непрерывным проектором . Векторное подпространство топологического векторного пространства называется дополняемым, если существует непрерывный проектор .
Свойства
- Подпространство пространства является его ретрактом в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства в произвольное топологического пространство можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства в .
- Если пространство — хаусдорфово , то всякий ретракт пространства замкнут в .
-
Всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к ретракту. В частности, при переходе к ретракту сохраняются
- компактность ,
- связность ,
- линейная связность ,
- сепарабельность ,
- ограничение сверху на размерность ,
- паракомпактность ,
- нормальность ,
- локальная компактность ,
- локальная связность .
- Если пространство имеет свойство неподвижной точки , т.е . для каждого непрерывного отображения существует точка такая, что , то и каждый ретракт пространства обладает свойством неподвижной точки.
- Абсолютный окрестностный ретракт является локально стягиваемым пространством .
- Ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий .
Литература
- Борсук К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971.
- Куратовский К., Топология том 1, пер. с англ., стр 112, 1966
ayesha
- 2021-10-17
- 1