Слоение — геометрическая конструкция в топологии : говорят, что на многообразии задано слоение размерности ${\displaystyle p}$ , если многообразие «нарезано» (согласованным образом в окрестности каждой точки) на « слои » размерности ${\displaystyle p}$ .

Наиболее изученными являются 1-мерные слоения, порождаемые траекториями неособых векторных полей на многообразии, и слоения коразмерности 1 .

Понятие слоения естественным образом возникает, в том числе, в теории динамических систем : так, для гиперболических динамических систем имеются и слоения.

Формальное определение

Говорят, что на ${\displaystyle n}$ -мерном многообразии ${\displaystyle M}$ задано ${\displaystyle p}$ -мерное слоение, если многообразие покрыто картами ${\displaystyle U_{i}}$ с соответствующими координатными отображениями

${\displaystyle \varphi _{i}=(x_{i},\;t_{i})\colon U_{i}\to D^{p}\times D^{n-p},}$

такими, что отображения переклейки имеют вид

${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(x,\;t)=(F_{ij}(x,\;t),\;T_{ij}(t)).}$

Иными словами, при переклейке вторая («трансверсальная») координата определяется только второй координатой.

В этом случае, рассматривается отношение эквивалентности , порождённое отношением ${\displaystyle p\sim p'}$ , если в одной из карт вторые координаты точек ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle p'}$ совпадают. Класс эквивалентности точки ${\displaystyle p}$ называется тогда слоем , проходящим через точку ${\displaystyle p}$ .

Также, если какое-то (обычно, конечное, и всегда коразмерности, не меньшей 2) множество точек выбранными картами не покрывается, говорят, что задано особое слоение (или слоение с особенностями ), а эти точки называют особыми точками слоения .

Примеры

• Разбиение многообразия на траектории неособого векторного поля задаёт на нём одномерное слоение.
• Любое (локально тривиальное) расслоение автоматически является слоением.
• Если задано действие фундаментальной группы многообразия ${\displaystyle M}$ на многообразии ${\displaystyle N}$ ,

${\displaystyle h\colon \pi _{1}(M)\to \mathrm {Diff} (N),}$

то по нему строится надстройка — слоение, динамика отображений голономии которого моделирует это действие. А именно, декартово произведение универсальной накрывающей над ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ , — многообразие ${\displaystyle {\tilde {M}}\times N}$ — с «горизонтальным» слоением на нём факторизуется по «диагональному» действию фундаментальной группы:

${\displaystyle \gamma (x,\;y)=(\gamma .x,\;h(\gamma )(y)).}$

Поскольку это действие сохраняет горизонтальное слоение, это слоение опускается на фактор, задавая искомую надстройку.

• ${\displaystyle p}$ - форма , в каждой точке многообразия удовлетворяющая критерию Фробениуса интегрируемости поля плоскостей, задаёт ${\displaystyle p}$ -мерное слоение этого многообразия;
• полиномиальное векторное поле в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ задаёт особое двумерное слоение.

Касательное и нормальное расслоение слоения

Касательное расслоение тотального многообразия слоения обладает подрасслоением , векторы которого касаются слоев, — это касательное расслоение слоения . Соответствующее называется нормальным расслоением слоения .

Слоение называется ориентированным , если ориентировано его нормальное расслоение. Заметим, что ни тотальное многообразие, ни слои ориентированного слоения не обязаны быть хотя бы ориентируемыми .

Слоение называется оснащенным , если его нормальное расслоение тривиально и наделено определенной .

Свойства

• Теорема Новикова утверждает, что у всякого двумерного слоения трёхмерной сферы имеется компактный слой.
• показывает, что для всякого некомпактного слоя слоения коразмерности один на компактном многообразии найдётся пересекающая этот слой трансверсальная к слоению окружность.

См. также

• Слоение коразмерности 1
• Слоение Риба
• Критерий Фробениуса интегрируемости поля плоскостей.
• Распределение , определяющее слоение

Литература

• Тамура И. Топология слоений. — М: Мир, 1979.
• Фукс Д. Б. // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151—213.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Фукс Д. Б. . — УМН , 28 :2 (170) (1973), с. 3—17.