Бордизм , также бордантность — термин топологии , употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше ^{[ источник не указан 3801 день ]} говорили о кобордизмах , старая терминология тоже сохранилась.

Неориентированные бордизмы

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых ${\displaystyle n}$ -мерных многообразия ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное ${\displaystyle (n+1)}$ -мерное многообразие ${\displaystyle W}$ (называемое плёнка ), край которого состоит из двух многообразий ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ , (или точнее многообразий ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle M_{1}}$ диффеоморфных, соответственно, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ посредством некоторых диффеоморфизмов ${\displaystyle g_{0}\colon M\to M_{0}}$ и ${\displaystyle g_{1}\colon M'\to M_{1}}$ ). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов , а тройку ${\displaystyle (W,\;M_{0},\;M_{1})}$ называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке ${\displaystyle (W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})}$ ).

Множество классов бордизмов ${\displaystyle n}$ -мерных многообразий образует абелеву группу ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$ относительно несвязного объединения , называемую группой бордизмов . Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: ${\displaystyle M}$ — ограничивающее многообразие , ${\displaystyle M}$ — внутренне гомологично , или бордантно нулю). Элементом ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$ обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий ${\displaystyle M}$ диффеоморфно границе прямого произведения ${\displaystyle M\times [0,\;1]}$ ). Прямая сумма ${\displaystyle \Omega _{*}^{O}}$ групп ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$ является коммутативным градуированным кольцом , умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

Бордизмы с дополнительной структурой

Ориентированные бордизмы

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ ориентированно бордантны , если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка ${\displaystyle W}$ ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией ${\displaystyle W}$ на ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle M_{1}}$ (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах ${\displaystyle g_{0}}$ и ${\displaystyle g_{1}}$ , соответственно, в исходную ориентацию ${\displaystyle M}$ и в ориентацию, противоположную исходной ориентации ${\displaystyle M'}$ . Аналогично ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$ , и ${\displaystyle \Omega _{*}^{O}}$ вводятся группы ориентированных бордизмов ${\displaystyle \Omega _{n}^{SO}}$ и кольцо ${\displaystyle \Omega _{*}^{SO}}$ .

Другие варианты

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, ${\displaystyle \mathrm {Spin} }$ -бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и (ранее называемые ${\displaystyle J}$ -эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

Свойства

• Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа ( числа Штифеля — Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом).

История

Первый пример — бордизм оснащённых многообразий , введённый в 1938 году Понтрягиным , который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер ${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})}$ , и таким путём смог найти ${\displaystyle \pi _{n+1}(S^{n})}$ и ${\displaystyle \pi _{n+2}(S^{n})}$ . Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным , вычислившим ${\displaystyle \Omega _{n}^{SO}}$ для ${\displaystyle n\leqslant 4}$ . Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа . Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

Литература

• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М. : Мир, 1972. — 280 с.

См. также

• ${\displaystyle h}$ -кобордизм