Первая группа гомологий топологического пространства — абелева группа , состоящая из петель в этом пространстве, рассматриваемых с точностью до гомологичности . Такие петли описывают форму пространства и измеряют количество его дыр. Первая группа гомологий является простейшим вариантом топологического пространства — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии .

Близким понятием является фундаментальная группа , операция в которой в общем случае некоммутативна . Первая группа гомологий отличается от фундаментальной тем, что она хранит меньше информации о топологическом пространстве. В связи с этим её проще вычислять. Если фундаментальная группа пространства абелева, то она изоморфна первой группе гомологий, а в общем случае первая группа гомологий является абелианизацией фундаментальной.

Определение

Одномерным циклом в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ называется произвольный упорядоченный набор петель в нём, то есть непрерывное отображение из дизъюнктного объединения окружностей вида

${\displaystyle s\colon \coprod _{i=1}^{n}S^{1}\to X}$ ,

где ${\displaystyle n\geq 0}$ . Число ${\displaystyle n}$ называется количеством компонент цикла. При ${\displaystyle n=1}$ цикл является петлей, а при ${\displaystyle n=0}$ — .

Два одномерных цикла ${\displaystyle u}$ с ${\displaystyle p}$ компонентами и ${\displaystyle v}$ с ${\displaystyle q}$ компонентами называются гомологичными , если существуют такие

• непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon \Sigma \to X}$ , где ${\displaystyle \Sigma }$ — дизъюнктное объединение нескольких ориентированных сфер с ручками и дырками, общее число дырок в котором равно ${\displaystyle p+q}$ ,
• вложения ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{p+q}\colon S^{1}\to \Sigma }$ , параметризующие граничные окружности поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ в направлении, согласованном с её ориентацией,

что сужение отображения ${\displaystyle u}$ на окружность индекса ${\displaystyle k}$ совпадает с петлей ${\displaystyle f\circ i_{k}}$ для всех ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,p\}}$ , а сужение отображения ${\displaystyle v}$ на окружность индекса ${\displaystyle k}$ совпадает с петлей ${\displaystyle (f\circ i_{p+k})^{rev}}$ для всех ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,q\}}$ , где символ ${\displaystyle x^{rev}}$ обозначает цикл, отличающийся от цикла ${\displaystyle x}$ лишь направлением обхода каждой окружности. В этом случае отображение ${\displaystyle f\colon \Sigma \to X}$ называется гомологией между циклами ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ .

Гомологичность является отношением эквивалентности на множестве всех одномерных циклов. Множество всех классов эквивалентности называется первой группой гомологий пространства ${\displaystyle X}$ и обозначается символом ${\displaystyle H_{1}(X)}$ .

Множество ${\displaystyle H_{1}(X)}$ наделяется структурой абелевой группы : суммой двух гомологических классов называется гомологический класс объединения соответствующих одномерных циклов. Относительно такой операции нулём является гомологический класс пустого отображения, а противоположным элементом к данному — гомологический класс цикла ${\displaystyle x^{rev}}$ , получающегося из некоторого представителя ${\displaystyle x}$ данного класса обращением направления обхода всех его компонент.

Связанные определения

Если одномерный цикл гомологичен пустому отображению, то говорят, что он гомологичен нулю или является границей . Иными словами, цикл с ${\displaystyle n}$ компонентами гомологичен нулю, если он продолжается до отображения из сферы с ручками и ${\displaystyle n}$ дырками.

Отношение гомологичности циклов выражается через гомологичность нулю. А именно, два одномерных цикла ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ гомологичны тогда и только тогда, когда цикл ${\displaystyle u\sqcup v^{rev}}$ гомологичен нулю.

Первым числом Бетти пространства ${\displaystyle X}$ называется ранг абелевой группы ${\displaystyle H_{1}(X)}$ , рассматриваемой как модуль над кольцом целых чисел . Как следует из названия, является частным случаем чисел Бетти .

Свойства

Первая группа гомологий компактного пространства является конечно порождённой .

Первые группы гомологий гомеоморфных или гомотопически эквивалентных пространств изоморфны .

Функториальность

Сопоставление ${\displaystyle X\to H_{1}(X)}$ продолжается до функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп . А именно, каждому непрерывному отображению ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ сопоставляется гомоморфизм ${\displaystyle f_{*}\colon H_{1}(X)\to H_{1}(Y)}$ , определяющийся формулой ${\displaystyle f_{*}([u]):=[f\circ u]}$ , где символ ${\displaystyle [x]}$ обозначает гомологический класс цикла ${\displaystyle x}$ .

Если два отображения ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы первых групп гомологий: ${\displaystyle f_{*}=g_{*}}$ . В связи с этим сопоставление ${\displaystyle X\to H_{1}(X)}$ продолжается до функтора из в категорию абелевых групп.

Связь с фундаментальной группой

Поскольку сфера с нулём ручек и двумя дырками гомеоморфна цилиндру , гомологичность является обобщением гомотопности . В частности, если два одномерных цикла гомотопны, то они гомологичны. В отличие от гомотопности, у гомологичных циклов количество компонент может различаться.

Имеется естественный гомоморфизм из фундаментальной группы пространства в его первую группу гомологий. Он сопоставляет гомотопическому классу петли её гомологический класс. Можно проверить, что относительно данного отображения произведение переходит в сумму, и тем самым оно действительно является гомоморфизмом. Его ядро совпадает с коммутантом фундаментальной группы. В случае, когда пространство ${\displaystyle X}$ линейно связно , данный гомоморфизм сюръективен, и тем самым

${\displaystyle \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\cong H_{1}(X)}$ ,

то есть первая группа гомологий изоморфна абелианизации фундаментальной группы .

В частности, первая группа гомологий линейно связного пространства тривиальна тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа каинова .

См. также

• Первая группа когомологий

Примечания

Литература

• Хатчер А. Алгебраическая топология (рус.) . — М. : МЦНМО , 2011. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5 .
• Viro O. Ya. , Ivanov O. A. , Netsvetaev N. Y. , Kharlamov V. M. . = Элементарная топология (англ.) . — American Mathematical Society , 2008. — 490 p. — ISBN 0821845063 .