Interested Article - Первая группа гомологий

Длинный цилиндр на бутылке Клейна , ограничивающий одномерные циклы и , является гомологией между ними.

Первая группа гомологий топологического пространства абелева группа , состоящая из петель в этом пространстве, рассматриваемых с точностью до гомологичности . Такие петли описывают форму пространства и измеряют количество его дыр. Первая группа гомологий является простейшим вариантом топологического пространства — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии .

Близким понятием является фундаментальная группа , операция в которой в общем случае некоммутативна . Первая группа гомологий отличается от фундаментальной тем, что она хранит меньше информации о топологическом пространстве. В связи с этим её проще вычислять. Если фундаментальная группа пространства абелева, то она изоморфна первой группе гомологий, а в общем случае первая группа гомологий является абелианизацией фундаментальной.

Определение

Одномерным циклом в топологическом пространстве называется произвольный упорядоченный набор петель в нём, то есть непрерывное отображение из дизъюнктного объединения окружностей вида

,

где . Число называется количеством компонент цикла. При цикл является петлей, а при .

Индуцирование ориентации с поверхности на её граничные компоненты.

Два одномерных цикла с компонентами и с компонентами называются гомологичными , если существуют такие

  • непрерывное отображение , где — дизъюнктное объединение нескольких ориентированных сфер с ручками и дырками, общее число дырок в котором равно ,
  • вложения , параметризующие граничные окружности поверхности в направлении, согласованном с её ориентацией,

что сужение отображения на окружность индекса совпадает с петлей для всех , а сужение отображения на окружность индекса совпадает с петлей для всех , где символ обозначает цикл, отличающийся от цикла лишь направлением обхода каждой окружности. В этом случае отображение называется гомологией между циклами и .

Гомологичность является отношением эквивалентности на множестве всех одномерных циклов. Множество всех классов эквивалентности называется первой группой гомологий пространства и обозначается символом .

Множество наделяется структурой абелевой группы : суммой двух гомологических классов называется гомологический класс объединения соответствующих одномерных циклов. Относительно такой операции нулём является гомологический класс пустого отображения, а противоположным элементом к данному — гомологический класс цикла , получающегося из некоторого представителя данного класса обращением направления обхода всех его компонент.

Связанные определения

Если одномерный цикл гомологичен пустому отображению, то говорят, что он гомологичен нулю или является границей . Иными словами, цикл с компонентами гомологичен нулю, если он продолжается до отображения из сферы с ручками и дырками.

Отношение гомологичности циклов выражается через гомологичность нулю. А именно, два одномерных цикла и гомологичны тогда и только тогда, когда цикл гомологичен нулю.

Первым числом Бетти пространства называется ранг абелевой группы , рассматриваемой как модуль над кольцом целых чисел . Как следует из названия, является частным случаем чисел Бетти .

Свойства

Первая группа гомологий компактного пространства является конечно порождённой .

Первые группы гомологий гомеоморфных или гомотопически эквивалентных пространств изоморфны .

Функториальность

Сопоставление продолжается до функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп . А именно, каждому непрерывному отображению сопоставляется гомоморфизм , определяющийся формулой , где символ обозначает гомологический класс цикла .

Если два отображения гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы первых групп гомологий: . В связи с этим сопоставление продолжается до функтора из в категорию абелевых групп.

Связь с фундаментальной группой

Поскольку сфера с нулём ручек и двумя дырками гомеоморфна цилиндру , гомологичность является обобщением гомотопности . В частности, если два одномерных цикла гомотопны, то они гомологичны. В отличие от гомотопности, у гомологичных циклов количество компонент может различаться.

Имеется естественный гомоморфизм из фундаментальной группы пространства в его первую группу гомологий. Он сопоставляет гомотопическому классу петли её гомологический класс. Можно проверить, что относительно данного отображения произведение переходит в сумму, и тем самым оно действительно является гомоморфизмом. Его ядро совпадает с коммутантом фундаментальной группы. В случае, когда пространство линейно связно , данный гомоморфизм сюръективен, и тем самым

,

то есть первая группа гомологий изоморфна абелианизации фундаментальной группы .

В частности, первая группа гомологий линейно связного пространства тривиальна тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа каинова .

См. также

Примечания

  1. , Chapter XIII. One-Dimensional Homology.
  2. , Глава 2.А. Гомологии и фундаментальная группа.

Литература

  • Хатчер А. Алгебраическая топология . — М. : МЦНМО , 2011. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5 .
  • Viro O. Ya. , Ivanov O. A. , Netsvetaev N. Y. , Kharlamov V. M. . = Элементарная топология (англ.) . — American Mathematical Society , 2008. — 490 p. — ISBN 0821845063 .
Источник —

Same as Первая группа гомологий