Геодези́ческая (также геодезическая ли́ния ) — кривая определённого типа, обобщение понятия « прямая » для искривлённых пространств.

Конкретное определение геодезической линии зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трёхмерное пространство , геодезические линии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии , прямолинейные образующие и окружности , на сфере — дуги больших окружностей .

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике . Так, пробное тело в общей теории относительности движется по геодезической линии пространства-времени . По сути, временна́я эволюция всех лагранжевых систем может рассматриваться как движение по геодезической в специальном пространстве. Таким образом представима вся теория калибровочных полей .

Дифференциальная геометрия

Многообразия с аффинной связностью

В многообразиях с аффинной связностью ${\displaystyle \nabla }$ геодезическая — это кривая ${\displaystyle \gamma (t)}$ , удовлетворяющая уравнению

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0.}$

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля :

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

где ${\displaystyle x^{\mu }(t)}$ — координаты кривой.

Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.

Римановы и псевдоримановы многообразия

В римановых и псевдоримановых пространствах геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии:

${\displaystyle E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g{\big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\big )}\,dt,}$

здесь ${\displaystyle \gamma (t)}$ — кривая в пространстве, ${\displaystyle g}$ — метрика . (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия .)

Это условие эквивалентно тому, что:

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

вдоль всей кривой, где ${\displaystyle \nabla }$ обозначает связность Леви-Чивиты .

Метрическая геометрия

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром ).

Согласно лемме Гаусса , для римановых многообразий это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.

Использование в физике

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени , то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.

Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.

См. также

• Ортодромия
• Экспоненциальное отображение
• Геодезический купол

Литература

• Граве Д. А. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. . Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• Постников М. М. . Вариационная теория геодезических. — Любое издание.
• А. В. Чернавский . .