Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат . Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций .

Свойства и связанные понятия

Внутренность единичной окружности называется единичным кругом .

Для координат всех точек на единичной окружности, согласно теореме Пифагора , выполняется равенство ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ . Это равенство можно рассматривать как уравнение единичной окружности.

Тригонометрические функции

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют « тригонометрическим кругом », что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг ).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку ${\displaystyle (x,y)}$ на единичной окружности с началом координат ${\displaystyle (0,0)}$ , получается отрезок, находящийся под углом ${\displaystyle \alpha }$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда получим :

${\displaystyle \cos \alpha =x}$ ,

${\displaystyle \sin \alpha =y}$ .

При подстановке этих значений в уравнение окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ получается:

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}$ .

(Используется следующая общепринятая нотация: ${\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}$ .)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

${\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}$

${\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}$

для всех целых чисел ${\displaystyle k}$ , то есть для ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ .

Комплексная плоскость

В комплексной плоскости единичная окружность — это множество комплексных чисел , модуль которых равен 1:

${\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \}}$

Любое ненулевое комплексное число ${\displaystyle z}$ может быть однозначно записано в виде ${\displaystyle z=|z|u,}$ где число ${\displaystyle u}$ имеет модуль 1 и поэтому принадлежит единичной окружности,

Множество ${\displaystyle G}$ является подгруппой группы комплексных чисел по умножению. В свою очередь, ${\displaystyle G}$ содержит важные в алгебре конечные группы корней ${\displaystyle n}$ -й степени из единицы , образующие вдоль единичной окружности вершины правильного ${\displaystyle n}$ -угольника.

Радианная мера

Радианную меру угла можно определить как длину той дуги, которую высекает из единичной окружности данный угол (центр окружности совпадает с вершиной угла) .

Вариации и обобщения

Понятие единичной окружности обобщается до ${\displaystyle n}$ -мерного пространства ( ${\displaystyle n>2}$ ), в таком случае говорят о « единичной сфере ».

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М. , Львовский С. М., Тоом А. Л. . — М. : МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .