Interested Article - Операция «Snub»
![](/images/009/196/9196006/1.jpg?rand=965506)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/c47c0bf6019350b83ed57ee155d843bd.jpg)
- 2021-04-04
- 2
![]() Плосконосый куб или плосконосый кубооктаэдр |
![]() Плосконосый додекаэдр или плосконосый икосододекаэдр |
![](/images/009/196/9196006/4.jpg?rand=739383)
![](/images/009/196/9196006/5.jpg?rand=758854)
Операция snub или отсечение вершин — это операция, применяемая к многогранникам. Термин появился из названий, данных Кеплером двум архимедовым телам — плосконосый куб (cubus simus) и плосконосый додекаэдр (dodecaedron simum) . В общем случае плосконосые формы имеют хиральную симметрию двух видов, с ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Согласно названиям Кеплера, отсечение вершин можно рассматривать как растяжение правильного многогранника, когда исходные грани отодвигаются от центра и поворачиваются относительно центров, вместо исходных вершин добавляются многоугольники с центрами в этих вершинах, а пары треугольников заполняют пространство между исходными рёбрами.
Терминологию обобщил Коксетер со слегка другим определением для более широкого множества однородных многогранников .
Операция «snub» Конвея
Джон Конвей исследовал обобщённые операции над многогранниками, определяя то, что называется теперь нотацией Конвея для многогранников , которая может быть применена к многогранникам и мозаикам. Конвей назвал операцию Коксетера semi-snub (полу-snub) .
В этой нотации snub определяется как композиция двойственного и gyro операторов, , и это эквивалентно последовательности операторов , усечения и ambo . Нотация Конвея избегает операции альтернирования, поскольку та применима только к многогранниками с гранями, имеющими чётное число сторон.
Многогранники | Евклидовы мозаики | Гиперболические мозаики | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Нотация
Конвея |
sT | sC = sO | sI = sD | sQ | sH = sΔ | sΔ 7 |
Плосконосый
многогранник |
Тетраэдр |
Куб
или
Октаэдр |
Икосаэдр
или
Додекаэдр |
Квадратная мозаика |
Шестиугольная мозаика
или
Треугольная мозаика |
Семиугольная мозаика
или
|
![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
|
Рисунок |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
В 4-мерных пространствах Конвей считает, что должен называться полуплосконосым 24-ячейником , поскольку он не представляет альтернированный , как его аналог в 3-мерном пространстве. Вместо этого он является альтернированным .
Операции «snub» Коксетера, правильная и квазиправильная
Исходное тело |
Полноусечённый
многогранник r |
Усечённый
многогранник t |
h |
---|---|---|---|
Cube |
Кубооктаэдр
Полноусечённый куб |
Усечённый кубооктаэдр
Скошено-усечённый куб |
Плосконосый кубооктаэдр
Плосконосый полноусечённый куб |
C |
CO
rC |
tCO
trC или trO |
htCO = sCO
htrC = srC |
{4,3} | или r{4,3} | или tr{4,3} |
htr{4,3} = sr{4,3} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Терминология «snub» (отсечения вершин)
Коксетера
несколько отличается и означает
усечение
, по которому
плосконосый куб
получается операцией snub (отсечение вершин) из
кубооктаэдра
, а
плосконосый додекаэдр
— из
икосододекаэдра
. Это определение используется в названиях двух
тел Джонсона
—
плосконосый двуклиноид
и
плосконосая квадратная антипризма
, а также в названиях многогранников более высокой размерности, таких как 4-мерный
,
или s{3,4,3}.
Правильный многогранник
(или мозаика) с символом Шлефли,
и
диаграммой Коксетера
имеет
усечение
, определённое как
с диаграммой
, и плосконосую форму, определённую как
усечение
с диаграммой Коксетера
. Это построение требует, чтобы
q
было чётным.
Квазиправильный многогранник
или
r
{
p
,
q
}, с диаграммой Коксетера
или
имеет квазиправильное
усечение
, определённое как
или
tr
{
p
,
q
} (с диаграммой Коксетера
или
) и квазиправильную плосконосую форму, определённую как
усечение полного усечения
или
htr
{
p
,
q
} =
sr
{
p
,
q
} (с диаграммой Коксетера
или
).
Например,
плосконосый куб
Кеплера получается из квазирегулярного
кубооктаэдра
с вертикальным
символом Шлефли
(и
диаграммой Коксетера
) и более точно называется
плосконосый кубооктаэдр
, который выражается символом Шлефли
(с диаграммой Коксетера
). Плосконосый кубооктаэдр является альтернацией
усечённого кубооктаэдра
(
).
Правильные многогранники с чётным порядком вершин также могут быть приведены к плосконосой форме как альтернированное усечение, подобно как
плосконосый октаэдр
(
) (и
плосконосый тетратетаэдр
,
) представляет
псевдоикосаэдр
, правильный
икосаэдр
с
пиритоэдральной симметрией
.
Плосконосый октаэдр
является альтернированной формой
усечённого октаэдра
,
(
), или в форме тетраэдральной симметрии:
и
.
Усечённый
t |
Альтернированный
h |
|
---|---|---|
Октаэдр
O |
Усечённый
октаэдр
tO |
Плосконосый октаэдр
htO или sO |
{3,4} | t{3,4} | ht{3,4} = s{3,4} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Операция отсечения вершин (носов) Коксетера позволяет также определить n- антипризму как или на основе n-призм или , а является правильным осоэдром , вырожденным многогранником, который является допустимой мозаикой на сфере с двуугольными или луноподобными гранями.
Рисунок |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Диаграммы
Коксетера |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Символ
Шлефли |
s{2,4} | s{2,6} | s{2,8} | s{2,10} | s{2,12} | ... | ||
sr{2,2}
|
sr{2,3}
|
sr{2,4}
|
sr{2,5}
|
sr{2,6}
|
sr{2,7}
|
sr{2,8}...
... |
sr{2,∞}
|
|
Нотация
Конвея |
A2 = T | A3 = O | A4 | A5 | A6 | A7 | A8... | A∞ |
Тот же процесс применим для плосконосых мозаик:
Треугольная мозаика
Δ |
Усечённая
треугольная мозаика
tΔ |
Плосконосая треугольная мозаика
htΔ = sΔ |
---|---|---|
{3,6} | t{3,6} | ht{3,6} = s{3,6} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Примеры
Пространство | Сферическое | Евклидово | Гиперболическое | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Рисунок |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Диаграмма
Коксетера |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
...
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Символ
Шлефли |
s{2,4} | s{3,4} | s{4,4} | ... |
Пространство | Сферическая | Евклидово | Гиперболическое | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Рисунок |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Диаграмма
Коксетере |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
...
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Символ
Шлефли |
sr{2,3} | sr{3,3} | sr{4,3} | sr{5,3} | sr{6,3} | ... | ||
Нотация
Конвея |
A3 | sT | sC или sO | sD или sI | sΗ или sΔ |
Пространство | Сферическое | Евклидово | Гиперболическое | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Рисунок |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Диаграмма
Коксетера |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
...
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Символ
Шлефли |
sr{2,4} | sr{3,4} | sr{4,4} | ... | ||||
Нотация
Конвея |
A4 | sC или sO | sQ |
Неоднородные плосконосые многогранники
У неоднородных многогранников, для которых в вершины сходятся чётное число рёбер, могут быть отсечены вершины, включая некоторые бесконечные наборы, например:
![]() |
Плосконосая квадратная бипирамида |
---|
![]() |
Плосконосая шестиугольная бипирамида |
![]() |
Рисунок |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|---|
Символ
Шлефли |
ss{2,4} | ss{2,6} | ss{2,8} | ss{2,10}... |
ssr{2,2}
|
ssr{2,3}
|
ssr{2,4}
|
ssr{2,5}...
|
Однородные плосконосые звёздчатые многогранники Коксетера
Плосконосые звёздчатые многогранники строятся по треугольнику Шварца (p q r) с рациональными зеркалами, в котором все зеркала активны и альтернированы.
![]() s{3/2,3/2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() s{3/2,5/3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Плосконосые многогранники и соты Коксетера в пространствах высокой размерности
В общем случае правильные 4-мерные многогранники с
символом Шлефли
,
и
диаграммой Коксетера
имеет плосконосую форму с
расширенным символом Шлефли
и диаграммой
.
Полноусечённый многогранник
=
r{p,q,r}
, and
has snub symbol
=
sr{p,q,r}
, and
.
Примеры
![](/images/009/196/9196006/549.jpg?rand=321297)
Существует лишь один однородный плосконосый многогранник в 4-мерном пространстве,
. Правильный
двадцатичетырёхъячейник
имеет
символ Шлефли
,
и
диаграмму Коксетера
, а плосконосый 24-ячейник представляется символом
и диаграммой
диаграмма Коксетера
. Он имеет также построение с более низкой симметрией с индексом 6 как
или s{3
1,1,1
} и
, и симметрией с индексом 3 как
или sr{3,3,4},
или
.
Связанные
модно рассматривать как
или s{3,4,3,3},
, тело с более низкой симметрией как
или sr{3,3,4,3} (
или
), и с наименьшей симметрией как
или s{3
1,1,1,1
} (
).
Евклидовыми сотами являются
, s{2,6,3} (
) или sr{2,3,6} (
) или sr{2,3
[3]
} (
).
Другими евклидовыми (равнорёберными) сотами являются
s{2,4,4} (and
) или sr{2,4
1,1
} (
):
Единственными однородными плосконосыми гиперболическими сотами являются
плосконосые шестиугольные мозаичные соты
, s{3,6,3} и
, которые можно построить также как
, h{6,3,3},
. It is also constructed as s{3
[3,3]
} and
.
Другими гиперболическими (равнорёберными) сотами являются
, s{3,4,4} и
.
См. также
Основа | Усечение | Полное усечение |
Двойствен-
ность |
Растяжение | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
t
0
{p, q}
{p, q} |
t{p, q} |
t
1
{p,q}
r{p, q} |
2t{p, q} |
t
2
{p, q}
2r{p, q} |
rr{p, q} |
tr{p, q} |
h{q, p} |
ht
12
{p,q}
s{q, p} |
ht
012
{p,q}
sr{p, q} |
Примечания
- Kepler , Harmonices Mundi , 1619
- , с. 287.
- , с. 401.
Литература
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246 , вып. 916 . — С. 401–450 . — ISSN . — doi : . — .
- Coxeter, H.S.M. 8.6 Partial truncation, or alternation // . — 3rd. — 1973. — С. –156. — ISBN 0-486-61480-8 .
- Coxeter . Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs // . — 3rd. ed.. — Dover Publications, 1973. — С. –156. — ISBN 0-486-61480-8 .
-
H.S.M. Coxeter
.
/ F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. —
ISBN 978-0-471-01003-6
.
- (Paper 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- H.S.M. Coxeter . Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes // . — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8 .
-
N.W. Johnson
.
Uniform Polytopes. — 1991. — (Manuscript).
- N.W. Johnson . The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- Richard Klitzing. Snubs, alternated facetings, and Stott–Coxeter–Dynkin diagrams // Symmetry: Culture and Science. — 2010. — Т. 21 , вып. 4 . — С. 329–344 .
Для улучшения этой статьи
желательно
:
|
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/c47c0bf6019350b83ed57ee155d843bd.jpg)
- 2021-04-04
- 2