Interested Article - Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство ) в изначальном смысле — это пространство , свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность , равную 3, то есть является трёхмерным .

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением ; либо метрическое пространство , соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством . В этой статье за исходное будет взято первое определение.

$n$ $n$ -мерное евклидово пространство обычно обозначается $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathbb {E} ^{n}$ ; также часто используется обозначение $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на парах векторов которого задана вещественнозначная функция $(\cdot ,\cdot),$ $(\cdot ,\cdot),$ обладающая следующими тремя свойствами:

Линейность: для любых векторов $\mathbf {u,v,w}$ $\mathbf {u,v,w}$ и для любых вещественных чисел $a,b$ $a,b$ справедливы соотношения $(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w})=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$ $(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w})=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$ ;
Симметричность: для любых векторов $u,v$ $u,v$ верно равенство $\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$ $\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$
Положительная определённость: $\mathbf {(u,u)} \geqslant 0$ $\mathbf {(u,u)} \geqslant 0$ для любого $u,$ $u,$ причём $\mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.$ $\mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.$

Аффинное пространство , соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством .

Пример евклидова пространства — координатное пространство $\mathbb {R} ^{n},$ $\mathbb {R} ^{n},$ состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ где скалярное произведение определяется формулой $\mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.$ $\mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора $u$ $u$ определяется как ${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$ ${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$ и обозначается $|\mathbf {u} |.$ $|\mathbf {u} |.$ Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что $|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$ $|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами $\mathbf {x}$ ${\mathbf x}$ и $\mathbf {y}$ ${\mathbf y}$ определяется как $\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$ $\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства ( евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом ${\tfrac {\pi }{2}},$ ${\tfrac {\pi }{2}},$ то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от $\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$ $\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$ был определён, необходимо и достаточно , чтобы выполнялось неравенство $\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$ $\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского . Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника : $\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$ $\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$ Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция $d\mathbf {(x,y)} ,$ $d\mathbf {(x,y)} ,$ или $\mathbf {|x-y|} ,$ $\mathbf {|x-y|} ,$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой ). В частности, расстояние между элементами (точками) $\mathbf {x}$ ${\mathbf x}$ и $\mathbf {y}$ ${\mathbf y}$ координатного пространства $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ задаётся формулой $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$ $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис , состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ и $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением , можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, $n$ $n$ -мерное евклидово пространство изоморфно $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора $x$ $x$ на подпространство $U$ $U$ — это вектор $h,$ $h,$ ортогональный $U,$ $U,$ такой что $x$ $x$ представим в виде $u+h,$ $u+h,$ где $u\in U.$ $u\in U.$ Расстояние между концами векторов $u$ $u$ и $x$ $x$ является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора $x$ $x$ до подпространства $U.$ $U.$ Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов .

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор $x$ $x$ евклидова пространства задаёт линейный функционал $x^{*}$ $x^{*}$ на этом пространстве, определяемый как $x^{*}(y)=(x,y).$ $x^{*}(y)=(x,y).$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной .

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя ). Пример движения — параллельный перенос на вектор $\mathbf {v}$ ${\mathbf v}$ , переводящий точку $\mathbf {p}$ ${\mathbf p}$ в точку $\mathbf {p+v}$ $\mathbf {p+v}$ . Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование . Ортогональные преобразования n -мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n) . Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n , удовлетворяющих условию $Q^{\mathsf {T}}Q=E$ $Q^{\mathsf {T}}Q=E$ , где $Q^{\mathsf {T}}$ $Q^{\mathsf {T}}$ — транспонированная матрица, а $E$ $E$ — единичная матрица .

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

$\mathbb {E^{1}}$ $\mathbb {E^{1}}$ размерности $1$ $1$ ( вещественная прямая — к примеру, числовая ось );
$\mathbb {E^{2}}$ $\mathbb {E^{2}}$ размерности $2$ $2$ ( евклидова плоскость );
$\mathbb {E^{3}}$ $\mathbb {E^{3}}$ размерности $3$ $3$ ( евклидово трёхмерное пространство ).

Более абстрактный пример:

пространство ${\mathcal {P}}^{n}$ ${\mathcal {P}}^{n}$ вещественных многочленов , степени которых не превосходят n , со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например $e^{-x^{2}}$ $e^{-x^{2}}$ ).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

правильные многомерные многогранники (например, N -мерный куб , N -мерный октаэдр , N -мерный тетраэдр );
гиперсфера ;
гипертор .

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных , то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства .

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства . Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства . Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике , ведёт к определению гильбертова пространства ; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Примечания

, с. 35.
, с. 39.
, с. 118.
Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 182
Данный результат верен также для псевдоевклидовых и унитарных пространств, для гильбертовых пространств он более сложен и называется теоремой Рисса .

Литература

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М. : Добросвет, МЦНМО , 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Наука , 1986. — 304 с.
Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М. : Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.

[_08346a331203a0e0-1] , с. 35.

[_08346a331203a0ec-2] , с. 39.

[_a7b01b80909021c2-3] , с. 118.

[4] Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 182

[5] Данный результат верен также для псевдоевклидовых и унитарных пространств, для гильбертовых пространств он более сложен и называется теоремой Рисса .