Interested Article - Интервалы между простыми числами

Интервалы между простыми числами — это разности между двумя последовательными простыми числами . n -й интервал, обозначаемый $g_{n}$ $g_{n}$ , — это разность между ( n + 1)-м и n -м простыми числами, то есть

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.

Мы имеем: $g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4$ $g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4$ . Последовательность $g_{n}$ $g_{n}$ интервалов между простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию $g(p_{n})$ $g(p_{n})$ вместо $g_{n}$ $g_{n}$

Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 последовательность в OEIS .

Простые замечания

Для любого простого числа P , символом P # мы будем обозначать праймориал P , то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P . Если Q — это простое число, следующее за P , то последовательность

P\#+2,P\#+3,\dots ,P\#+(Q-1)

P\#+2,P\#+3,\dots ,P\#+(Q-1)

является последовательностью из $Q-2$ $Q-2$ последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем $Q-1$ $Q-1$ . Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, и для любого простого P существует n такое, что $g_{n}\geqslant P$ $g_{n}\geqslant P$ (Очевидно, что для этого мы можем выбрать n таким, что $p_{n}$ $p_n$ будет наибольшим простым числом, не превосходящим $P\#+2$ $P\#+2$ .). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, использует тот факт, что множество простых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределении простых чисел .

На самом деле, интервал между простыми величины P может встретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P #. Например, самая первая последовательность из 71 последовательных составных чисел находится между 31398 и 31468, в то время как 71# является 27-значным числом .

Уже среднее значение интервалов между простыми растет как натуральный логарифм n .

С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что $g_{n}=2$ $g_{n}=2$ для бесконечно многих n .

Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощью (последовательность в OEIS ).

Численные результаты

На 16 апреля 2022 года наибольший известный интервал между 208095-значными числами, определёнными как вероятно простые , имеет длину 7186572 и M = 14.9985. Он был найден Michiel Jansen с помощью программы, созданной J. K. Andersen.

На 8 марта 2013 года наибольший известный интервал между 18662-значными доказанными простыми числами имеет длину 1113106 и M = 25.90. Он был найден P. Cami, M. Jansen и J. K. Andersen.

Отношение M = g _n /ln( p _n ) показывает, во сколько раз данный интервал g _n отличается от среднего интервала между простыми вблизи простого числа p _n . На 2017 год наибольшее известное значение M =41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределенных вычислений Gapcoin .

Отношение S = g _n /ln ² p _n (oтношение Крамера — Шенкса — Грэнвилля) изучают в связи с гипотезой Крамера , утверждающей, что $g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})$ $g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})$ . Если не рассматривать аномально высокие значения S , наблюдающиеся для $p_{n}=2,3,7,$ $p_{n}=2,3,7,$ то наибольшее известное значение S =0,9206386 обнаружено для интервала длиной 1132, следующего за 16-значным простым числом 1693182318746371. Этот рекорд нашел в 1999 году Bertil Nyman (последовательность в OEIS содержит это и все предшествующие простые числа $p_{n}\geq 23$ $p_{n}\geq 23$ , соответствующие рекордным значениям S ).

Будем говорить, что $g_{n}$ $g_{n}$ является максимальным интервалом, если для всех $k<n$ $k < n$ будет $g_{k}<g_{n}$ $g_{k}<g_{n}$ . Между первыми $n$ $n$ простыми числами наблюдается приблизительно $2\ln n$ $2\ln n$ максимальных интервалов ; см. также последовательность в OEIS .

Первые 80 максимальных интервалов
( n не приводится; см. последовательность в OEIS )

От 1 до 30
#	g _n	p _n
1	1	2
2	2	3
3	4	7
4	6	23
5	8	89
6	14	113
7	18	523
8	20	887
9	22	1129
10	34	1327
11	36	9551
12	44	15683
13	52	19609
14	72	31397
15	86	155921
16	96	360653
17	112	370261
18	114	492113
19	118	1349533
20	132	1357201
21	148	2010733
22	154	4652353
23	180	17051707
24	210	20831323
25	220	47326693
26	222	122164747
27	234	189695659
28	248	191912783
29	250	387096133
30	282	436273009

От 31 до 60
#	g _n	p _n
31	288	1294268491
32	292	1453168141
33	320	2300942549
34	336	3842610773
35	354	4302407359
36	382	10726904659
37	384	20678048297
38	394	22367084959
39	456	25056082087
40	464	42652618343
41	468	127976334671
42	474	182226896239
43	486	241160624143
44	490	297501075799
45	500	303371455241
46	514	304599508537
47	516	416608695821
48	532	461690510011
49	534	614487453523
50	540	738832927927
51	582	1346294310749
52	588	1408695493609
53	602	1968188556461
54	652	2614941710599
55	674	7177162611713
56	716	13829048559701
57	766	19581334192423
58	778	42842283925351
59	804	90874329411493
60	806	171231342420521

От 61 до 80
#	g _n	p _n
61	906	218209405436543
62	916	1189459969825483
63	924	1686994940955803
64	1132	1693182318746371
65	1184	43841547845541059
66	1198	55350776431903243
67	1220	80873624627234849
68	1224	203986478517455989
69	1248	218034721194214273
70	1272	305405826521087869
71	1328	352521223451364323
72	1356	401429925999153707
73	1370	418032645936712127
74	1442	804212830686677669
75	1476	1425172824437699411
76	1488	5733241593241196731
77	1510	6787988999657777797
78	1526	15570628755536096243
79	1530	17678654157568189057
80	1550	18361375334787046697
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90

19 июня 2021 года Craig Loizides сообщил о нахождении 81-го кандидата ( g _n =1552 p _n =18470057946260698231) и 15 июля 2021 года — о нахождении 82-го кандидата ( g _n =1572 p _n =18571673432051830099), отметив, что эти результаты были получены с помощью его собственного кода для графического процессора, и не являются 100% достоверными.

25 августа 2023 года стартовал проект по проверке этих двух результатов с помощью программы Gapfinder для ОС Windows, работающей на центральном процессоре. Завершение проекта ожидается в 2024-м году.

83-й ( g _n =1614 p _n =70835512978308848889799) и 84-й кандидаты ( g _n =1638 p _n =70835517346711648260809) также были найдены Craig Loizides в 2021 году. Они состоят уже из 23 десятичных цифр, и их проверка потребует неопределенно долгого времени.

Сложность поиска и подтверждения рекордов выше 80-го заключается в переходе через пороговое значение 2 ⁶⁴ (разрядная сетка ЭВМ), что требует создания/использования специализированного программного обеспечения, при этом выполнение математических операций над числами длиннее 64 бит существенно замедляется.

Наибольшие интервалы первых десяти тысяч

Уже во второй тысяче имеется интервал, длиной 34 числа, в котором нет простых чисел — (1327—1361). Причём, этот интервал удерживает свой рекорд длины до десятой тысячи. Лишь в девятой тысяче имеется второй интервал такой же длины — (8467—8501), а в десятой — более длинный интервал (36 чисел) — (9551—9587), который и является самым длинным интервалом первых десяти тысяч. Имеется также интервал длиной 32 числа — (5591—5623).

Дальнейшие результаты

Верхние оценки

Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2 k , поэтому, в частности, $p_{n+1}<2p_{n}$ $p_{n+1}<2p_{n}$ , откуда $g_{n}<p_{n}$ $g_{n}<p_{n}$ .

Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок $\ln p$ $\ln p$ . Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхнюю оценку для длины интервалов простых чисел: для любого $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ существует такое N , что для всех $n>N$ $n>N$ будет $g_{n}<\varepsilon p_{n}$ $g_{n}<\varepsilon p_{n}$ .

первым показал что существует такое постоянное $\theta <1$ $\theta <1$

\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

при

x\to +\infty

x\to +\infty

отсюда следует, что

g_{n}<p_{n}^{\theta },

g_{n}<p_{n}^{\theta },

для достаточно большого n .

Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное ${\frac {g_{n}}{p_{n}}}$ $\frac{g_n}{p_n}$ стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для $\theta$ $\theta$ . Эта оценка была улучшена до 249/250 , и до $\theta ={\frac {3}{4}}+\varepsilon$ $\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$ для любого $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ Чудаковым .

Основное улучшение было получено , который показал, что если

\zeta (1/2+it)=O(t^{c})

\zeta (1/2+it)=O(t^{c})

для некоторой константы $c>0$ $c>0$ , где O используется в смысле нотации O большое , то

\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

для любого $\theta >{\frac {1+4c}{2+4c}}$ $\theta > \frac{1+4c}{2+4c}$ . Здесь, как обычно, $\zeta$ $\zeta$ обозначает дзета функцию Римана , а $\pi (x)$ $\pi (x)$ — функция распределения простых чисел не превосходящих x . Известно, что допускается $c>{\frac {1}{6}}$ $c > \frac{1}{6}$ , откуда в качестве $\theta$ $\theta$ можно взять любое число, большее ${\frac {5}{8}}$ $\frac{5}{8}$ . Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами $n^{3}$ $n^3$ и $(n+1)^{3}$ $(n+1)^3$ для достаточно больших n . Заметим, что ещё не доказана , которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число между $n^{2}$ $n^{2}$ и $(n+1)^{2}$ $(n+1)^2$ для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра ). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера . Одним из достигнутых приближений к гипотезе Лежандра является доказанный факт о том, что $g(p_{n})=O({p_{n}}^{\frac {21}{40}})$ $g(p_{n})=O({p_{n}}^{\frac {21}{40}})$ .

показал, что можно выбрать $\theta ={\frac {7}{12}}$ $\theta = \frac{7}{12}$ .

Последний результат принадлежит Бакеру, и , показавшим, что $\theta$ $\theta$ может быть взято равным 0,525.

В 2005, , и доказали, что

\liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{\ln p_{n}}}=0

\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0

и позже улучшили это до

\liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2}}}<\infty

\liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2}}}<\infty

В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.

Этот результат многократно улучшался вплоть до

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.

В частности, отсюда следует, что множество всех пар простых чисел, разницы между которыми не превосходит 246, бесконечно .

Нижние оценки

доказал, что существует константа $c>0$ $c>0$ такая, что неравенство

g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2}}}

g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2}}}

сохраняется для бесконечно многих значений n . Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это $c=2e^{\gamma }$ $c=2e^{\gamma }$ , где $\gamma$ $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони . Пауль Эрдёш предложил приз в $5000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.

Гипотезы об интервалах между простыми числами

Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут быть получены при предположении истинности гипотезы Римана . Харальд Крамер доказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы $g(p_{n})$ $g(p_{n})$ удовлетворяют соотношению

g(p_{n})=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n}),

g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n),

(здесь используется нотация O большое ). Позже он предположил, что интервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).

g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).

В данный момент на это указывают численные расчеты. Для более детальной информации см. Гипотеза Крамера .

Гипотеза Андрицы утверждает, что

g(p_{n})<2{\sqrt {p_{n}}}+1.

g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.

Это слабое усиление гипотезы Лежандра , которая утверждает, что между любой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простое число.

Интервалы между простыми как арифметическая функция

Интервал $g_{n}$ $g_{n}$ между n -м и ( n + 1)-м простым числом является примером арифметической функции . В таком контексте обычно её обозначают $d_{n}$ $d_{n}$ и называют разностью между простыми . Разность между простыми не является ни мультипликативной , ни .

См. также

Примечания

MJansen (неопр.) . Mersenneforum.org (16 апреля 2022). 29 сентября 2022 года.
mart_r (неопр.) . Mersenneforum.org (14 июля 2022). 27 июля 2022 года.
Andersen, Jens Kruse (неопр.) . Дата обращения: 13 июня 2014. 27 декабря 2019 года.
Andersen, Jens Kruse (неопр.) . primerecords.dk (8 марта 2013). Дата обращения: 29 сентября 2022. 25 декабря 2019 года.
(неопр.) . Дата обращения: 6 июня 2020. 30 апреля 2021 года.
(неопр.) . Дата обращения: 6 июня 2020. 11 декабря 2019 года.
Kourbatov, А. On the n th record gap between primes in an arithmetic progression (англ.) // Int. Math. Forum : journal. — 2018. — Vol. 13 , no. 2 . — P. 65—78 . — doi : . — arXiv : .
(неопр.) . Дата обращения: 5 декабря 2023.
(неопр.) . Дата обращения: 5 декабря 2023.
(неопр.) . Дата обращения: 5 декабря 2023.
Hoheisel, G. Primzahlprobleme in der Analysis (неопр.) // Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1930. — Т. 33 . — С. 3—11 .
Heilbronn, H. A. Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel (англ.) // (англ.) (: journal. — 1933. — Vol. 36 , no. 1 . — P. 394—423 . — doi : .
Tchudakoff, N. G. On the difference between two neighboring prime numbers (англ.) // Math. Sb. : journal. — 1936. — Vol. 1 . — P. 799—814 .
Ingham, A. E. On the difference between consecutive primes (англ.) // (англ.) (: journal. — 1937. — Vol. 8 , no. 1 . — P. 255—266 . — doi : .
↑ Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. The difference between consecutive primes, II (неопр.) // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Т. 83 , № 3 . — С. 532—562 . — doi : .
Huxley, M. N. On the Difference between Consecutive Primes (англ.) // Inventiones Mathematicae : journal. — 1972. — Vol. 15 , no. 2 . — P. 164—170 . — doi : .
arXiv :
Zhang, Yitang. (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — Princeton University and the Institute for Advanced Study. 12 июня 2013 года.
(неопр.) . Polymath. Дата обращения: 21 июля 2013. 28 февраля 2020 года. >
D.H.J. Polymath. Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes (англ.) // Research in the Mathematical Sciences : journal. — 2014. — Vol. 1 . — doi : . — arXiv : .
Pintz, J. Very large gaps between consecutive primes (англ.) // J. Number Theory : journal. — 1997. — Vol. 63 , no. 2 . — P. 286—301 . — doi : .
↑ (англ.) (. Unsolved problems in number theory (неопр.) . — Third. — New York: Springer, 2004. — С. 31. — ISBN 0387208607 .