В теории узлов хиральный узел — это узел , который не эквивалентен своему зеркальному отражению. Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отражению, называется амфихиральным узлом или ахиральным узлом . Хиральность узла является инвариантом узла . Хиральность узлов можно далее классифицировать в зависимости от того, обратим он или нет.

Существует только 5 типов симметрий узлов, определяемых хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, обратимый, положительно амфихиральный необратимый, отрицательно амфихиральный необратимый и полностью амфихиральный обратимый .

История вопроса

Хиральность некоторых узлов давно подозревалась и доказана Максом Деном в 1914 году. П. Г. Тэт высказал гипотезу, что все амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений , но в 1998 году нашёл контрпример . Однако гипотеза Тэйта доказана для простых альтернированных узлов .

Число узлов каждого вида хиральности для каждого числа пересечений

Число пересечений	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	OEIS sequence
Хиральные узлы	1	0	2	2	7	16	49	152	552	2118	9988	46698	253292	1387166	N/A
Двусторонние узлы	1	0	2	2	7	16	47	125	365	1015	3069	8813	26712	78717
Полностью хиральные узлы	0	0	0	0	0	0	2	27	187	1103	6919	37885	226580	1308449
Амфихиральные узлы	0	1	0	1	0	5	0	13	0	58	0	274	1	1539
Положительно амфихиральные узлы	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	6	0	65
Отрицательно амфихиральные узлы	0	0	0	0	0	1	0	6	0	40	0	227	1	1361
Полностью амфихиральные узлы	0	1	0	1	0	4	0	7	0	17	0	41	0	113

• Оба возможных трилистника .
• 
  Левый трилистник.
• 
  Правый трилистник.

Простейший хиральный узел — трилистник , хиральность которого показал Макс Ден . Все торические узлы хиральны. Многочлен Александера не может определить хиральность узла, а вот многочлен Джонса в некоторых случаях может. Если V _k ( q ) ≠ V _k ( q ⁻¹ ), то узел хирален, однако обратное не обязательно верно. Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла , который бы полностью определял хиральность .

Двусторонний узел

Обратимый хиральный узел называется двусторонним . Среди примеров двусторонних узлов — трилистник.

Полностью хиральный узел

Если узел не эквивалентен ни своему обратному , ни своему зеркальному образу, он называется полностью хиральным, пример — узел 9 32 .

Амфихиральный узел

Амфихиральный узел — это узел, имеющий автогомеоморфизм α 3-сферы , который обращает ориентацию и фиксирует узел как множество.

Все амфихиральные альтернированные имеют чётное число пересечений . Первый амфихиральный узел с нечётным числом пересечений, а именно с 15 пересечениями, нашёл Хосте (Hoste) и др.

Полная амфихиральность

Если узел изотопен своему обратному и своему зеркальному образу, его называют полностью амфихиральным. Простейшим узлом с этим свойством является восьмёрка .

Положительная амфихиральность

Если автогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, говорят о положительной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла своему зеркальному отражению. Никакой из узлов с числом пересечений меньшим двенадцати не является положительно амфихиральным .

Отрицательная амфихиральность

Если автогомеоморфизм α обращает ориентацию узла, говорят об отрицательной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла обратному зеркальному отражению. Узел с этим свойством с минимальным числом пересечением — это 8 ₁₇ .

Примечания

Литература

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20 , вып. 4 . — doi : . 15 декабря 2013 года.