Interested Article - Устойчивость (динамические системы)

Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных . В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем .

Определения

Пусть область фазового пространства , , где . Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида:

(1)

где , функция определена , непрерывна и удовлетворяет условию Липшица локально по в области .

При этих условиях для любых существует единственное решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: . Выделим некоторое решение , определённое на интервале , таком, что и будем называть его невозмущённым решением.

Устойчивость по Ляпунову

Невозмущённое решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову , если для любых и существует , зависящее только от и и не зависящее от , такое, что для всякого , для которого , решение системы (1) с начальными условиями продолжается на всю полуось и для любого удовлетворяет неравенству .

Символически это записывается так:

Невозмущённое решение системы (1) называется неустойчивым, если оно не является устойчивым по Ляпунову, то есть

Равномерная устойчивость

Невозмущённое решение системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если из предыдущего определения зависит только от :

Асимптотическая устойчивость

Невозмущённое решение системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и является притягивающим, то есть выполняется условие для любого решения с начальными данными , для которых выполняется неравенство при некотором .

Существуют определённые разновидности асимптотической устойчивости . Невозмущённое решение системы (1) называется:

  • эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее ( не зависит от ).
  • равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее ( не зависит от и ).
  • асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее (отсутствует ограничение на ).
  • равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно и глобальнопритягивающее.

Замечание

В качестве невозмущённого решения системы можно рассматривать тривиальное решение , что делает условия устойчивости более простыми. Для этого необходимо ввести сдвигающую замену и рассматривать систему

где

Примечания

  1. , с. 9.
  2. , с. 19.

Литература

См. также

Источник —

Same as Устойчивость (динамические системы)