Интервальная арифметика — математическая структура , которая для вещественных интервалов определяет операции , аналогичные обычным арифметическим. Эту область математики называют также интервальным анализом или интервальными вычислениями . Данная математическая модель удобна для исследования различных прикладных объектов :

• Величины, значения которых известны только приближённо , то есть определён конечный интервал, в котором эти значения содержатся.
• Величины, значения которых в ходе вычислений искажены ошибками округления .
• Случайные величины .

Объекты и операции интервальной арифметики можно рассматривать как обобщение модели вещественных чисел, поэтому интервалы в ряде источников называются интервальными числами . Практическая важность этой модели связана с тем, что результаты измерений и вычислений почти всегда имеют некоторую погрешность, которую необходимо учесть и оценить.

История вопроса

Интервальная арифметика не является совершенно новым явлением в математике; в истории она несколько раз появлялась под разными именами. Например, Архимед в III веке до н. э.. рассчитал нижнюю и верхнюю границы для числа ${\displaystyle \pi }$ :

${\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}}$

Хотя вычисления с интервалами не были столь же популярны, как другие численные методы, но они не были полностью забыты.

Новая история интервальных вычислений начинается в 1931 году с работы Розалинды Сесили Янг , где были приведены правила вычисления с интервалами и другими подмножествами вещественных чисел. В 1951 году появился учебник Пола С. Дуайера по линейной алгебре , в нём эта тема рассматривалась с точки зрения повышения надёжности цифровых систем — интервалы использовались для оценки ошибок округления , связанных с числами с плавающей запятой . В 1958 году Теруо Сунага опубликовал подробный доклад о применении интервальной алгебре в численном анализе .

Во второй половине XX века потребности компьютерных вычислений вызвали бурное развитие интервального анализа практически одновременно и независимо в Советском Союзе, США, Японии и Польше. В 1966 году появилась книга американского математика «Интервальный анализ» ( Interval Analysis ) . Достоинство этой работы заключалось в том, что, начиная с простого принципа, он предоставлял общий метод для автоматического анализа ошибок, причём не только ошибок, возникающих в результате округления.

В последующие два десятилетия важные исследования по интервальному анализу и его приложениям велись в Германии — Карлом Никелем и его учениками в Университете Фрайбурга, в группах и Гётца Алефельда в Университете Карлсруэ , и других.

В 1960-х годах Элдон Р. Хансен занимался расширением интервального подхода на системы линейных уравнений , а затем внес важный вклад в глобальную оптимизацию , включая то, что сейчас известно как метод Хансена — возможно, наиболее широко используемый интервальный алгоритм . Классические методы в этой задаче часто имеют проблему с определением наибольшего (или наименьшего) глобального значения (могут найти только локальный оптимум и не могут найти лучшие значения); Хельмут Рачек и Джон Джордж Рокне разработали вариацию метода ветвей и границ , который до этого применялся только к целочисленным значениям.

В 1988 году Рудольф Лонер разработал программное обеспечение на основе языка Фортран для доказательного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений .

С 1990-х годов началась публикация международного журнала «Интервальные вычисления» − «Interval Computations», который в 1995 году был переименован в «Reliable Computing» («Надёжные вычисления»). Основной тематикой журнала являются доказательные вычисления, методы интервального анализа и его приложения.

В России и СССР интервальной тематикой активно занимался с 1920-х годов В. М. Брадис . В 1962 году один из первых выпусков « Сибирского математического журнала » опубликовал статью Леонида Витальевича Канторовича , который, фактически, наметил основы интервального анализа в частично упорядоченных пространствах и приложения новой техники. В его статье эта тематика была обозначена как приоритетная для нашей вычислительной науки . В послевоенный период одной из первых стала книга Ю. И. Шокина «Интервальный анализ» . В следующем году появилось учебное пособие Т.И. Назаренко и Л.В. Марченко «Введение в интервальные методы вычислительной математики» , а в 1986 году — монография С. А. Калмыкова, Ю. И. Шокина и З. Х. Юлдашева «Методы интервального анализа» .

Операции над интервалами

Мы будем рассматривать всевозможные конечные вещественные интервалы ${\displaystyle [a,b]\ (a\leqslant b)}$ . Операции над ними определяются следующим образом:

• Сложение: [ a , b ] + [ c , d ] = [ a + c , b + d ]
• Вычитание: [ a , b ] − [ c , d ] = [ a − d , b − c ]
• Умножение: [ a , b ] × [ c , d ] = [min ( ac , ad , bc , bd ), max ( ac , ad , bc , bd )]
• Деление: [ a , b ] / [ c , d ] = [min ( a/c , a/d , b/c , b/d ), max ( a/c , a/d , b/c , b/d )]

Из определения видно, что интервал-сумма содержит всевозможные суммы чисел из интервалов-слагаемых и определяет границы множества таких сумм. Аналогично трактуются прочие действия. Отметим, что операция деления определена только в том случае, когда интервал-делитель не содержит нуля.

Вырожденные интервалы, у которых начало и конец совпадают, можно отождествить с обычными вещественными числами. Для них данные выше определения совпадают с классическими арифметическими действиями.

Свойства операций

Сложение и умножение интервалов коммутативны и ассоциативны . Но вместо полноценной дистрибутивности умножения по сложению имеет место так называемая субдистрибутивность:

${\displaystyle X(Y+Z)\subset XY+XZ}$

Варианты и расширения интервальной арифметики

Стандарт IEEE 1788

Стандарт компьютерной реализации интервальной арифметики IEEE 1788—2015 был принят в июне 2015 года. В процессе работы над стандартом и в последующие годы были подготовлены несколько свободно распространяемых референсных реализаций: библиотека C++ libieeep1788 library for C++, библиотека JInterval для языка Java, а также пакет, реализующий интервальные вычисления для свободного математического ПО GNU Octave .

Минимальное подмножество стандарта, предназначенное для упрощения и ускорения его реализации — IEEE Std 1788.1-2017, было принято в декабре 2017 и опубликовано в феврале 2018.

Программное обеспечение

Существует много реализаций интервальной арифметики в различных пакетах программного обеспечения . Зачастую они оформляются как специализированные библиотеки. Ряд компиляторов Fortran и C++ включают в себя поддержку интервальных значений как специального типа данных.

См. также

• Приближённые вычисления
• IEEE 754

Примечания

Литература

• Алефельд Г., Херцбергер Ю. . . М.: Мир, 1987. 356 с.
• Добронец Б. С. . Красноярск: Издательство КГУ, 2004.
• Шарый С. П. . — Новосибирск: XYZ, 2019. — 635 с.
• Шокин Ю. И. . — Новосибирск: Сибирское отделение изд-ва «Наука», 1981.

Ссылки

• .
  • .
• на сайте Mathworld (англ.) .