Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления (последовательность в OEIS ) равен приблизительно

${\displaystyle \ln 2\approx 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326\,996\,418\,687}$

как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием ( b ) можно вычислить из соотношения

${\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}$

Десятичный логарифм числа 2 ( ) приблизительно равен

${\displaystyle \log _{10}2\approx 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026\,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\,927\,252\,118\,186\,172\,040\,684}$

Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:

${\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593\,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015}$ ( ).

Число	Приближённое значение натурального логарифма	OEIS
2	0,693147180559945309417232121458	последовательность в OEIS
3	1,09861228866810969139524523692	последовательность в OEIS
4	1,38629436111989061883446424292	последовательность в OEIS
5	1,60943791243410037460075933323	последовательность в OEIS
6	1,79175946922805500081247735838	последовательность в OEIS
7	1,94591014905531330510535274344	последовательность в OEIS
8	2,07944154167983592825169636437	последовательность в OEIS
9	2,19722457733621938279049047384	последовательность в OEIS
10	2,30258509299404568401799145468	последовательность в OEIS

По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа , кроме 1), является трансцендентным числом .

Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом .

Представление в виде рядов

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.}$ ( Ряд Меркатора )

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\tfrac {3}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)}}\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2}{2}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\operatorname {Li} _{1}\left({\frac {1}{2}}\right).}$ ( Полилогарифм )

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {6}{161^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)}}\right).}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}.}$

(здесь через γ обозначена постоянная Эйлера — Маскерони , ζ — дзета-функция Римана ).

Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа :

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1,(1){\big )}.\end{aligned}}}$

Представление в виде интегралов

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ или, равносильно, }}\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2}}}={\frac {1-\ln 2}{4}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx}}}={\frac {\ln 2}{n}};\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\gamma .}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operatorname {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\operatorname {tg} x\,dx=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx=-{\frac {\pi \ln 2}{4}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{18}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2}}}\,dx=-\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2}}}\,dx=1-2\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3}}}\,dx=-{\frac {\gamma +\ln 2}{2}}.}$

Другие формы представления числа

Разложение Пирса имеет вид ( )

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}$

Разложение Энгеля ( ):

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}$

Разложение в виде котангенсов имеет вид

${\displaystyle \ln 2=\operatorname {ctg} ({\operatorname {arcctg} 0-\operatorname {arcctg} 1+\operatorname {arcctg} 5-\operatorname {arcctg} 55+\operatorname {arcctg} 14187-\cdots }).}$

Представление в виде бесконечной суммы дробей (знакопеременный гармонический ряд ):

${\displaystyle \ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}-\cdots .}$

Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора :

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56}}+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }$

Представление в виде обобщённой непрерывной дроби :

${\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

Вычисление других логарифмов

Если известно значение ln 2 , то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел c затем определять исходя из разложения на простые множители:

${\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ln 7+\cdots }$

В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.

Простое число	Приблизительное значение натурального логарифма	OEIS
11	2,39789527279837054406194357797	последовательность в OEIS
13	2,56494935746153673605348744157	последовательность в OEIS
17	2,83321334405621608024953461787	последовательность в OEIS
19	2,94443897916644046000902743189	последовательность в OEIS
23	3,13549421592914969080675283181	последовательность в OEIS
29	3,36729582998647402718327203236	последовательность в OEIS
31	3,43398720448514624592916432454	последовательность в OEIS
37	3,61091791264422444436809567103	последовательность в OEIS
41	3,71357206670430780386676337304	последовательность в OEIS
43	3,76120011569356242347284251335	последовательность в OEIS
47	3,85014760171005858682095066977	последовательность в OEIS
53	3,97029191355212183414446913903	последовательность в OEIS
	4,07753744390571945061605037372	последовательность в OEIS
61	4,11087386417331124875138910343	последовательность в OEIS
	4,20469261939096605967007199636	последовательность в OEIS
71	4,26267987704131542132945453251	последовательность в OEIS
73	4,29045944114839112909210885744	последовательность в OEIS
79	4,36944785246702149417294554148	последовательность в OEIS
83	4,41884060779659792347547222329	последовательность в OEIS
89	4,48863636973213983831781554067	последовательность в OEIS
97	4,57471097850338282211672162170	последовательность в OEIS

На третьем шаге логарифмы рациональных чисел r = a / b вычисляются как ln r = ln a − ln b , логарифмы корней: ln ⁿ √ c = 1/ n ln c .

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени 2 ⁱ , близкой к степени b ^j другого числа b сравнительно несложно.

Известные значения

Это таблица последних записей по вычислению цифр ${\displaystyle \ln(2)}$ . По состоянию на декабрь 2018 года в ней было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме натурального числа, кроме 1.

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
7 января 2009 г.	15 500 000 000	A.Yee & R.Chan
4 февраля 2009 г.	31 026 000 000	A.Yee & R.Chan
21 февраля 2011 г.	50 000 000 050	Alexander Yee
14 мая 2011 г.	100 000 000 000	Shigeru Kondo
28 февраля 2014 г.	200 000 000 050	Shigeru Kondo
12 июля 2015 г.	250 000 000 000	Ron Watkins
30 января 2016 г.	350 000 000 000	Ron Watkins
18 апреля 2016 г.	500 000 000 000	Ron Watkins
10 декабря 2018 г.	600 000 000 000	Michael Kwok
26 апреля 2019 г.,	1 000 000 000 000	Jacob Riffee
19 августа 2020 г.	1 200 000 000 100	Seungmin Kim

Примечания

Литература

• Brent, Richard P. Fast multiple-precision evaluation of elementary functions (англ.) // J. ACM : journal. — 1976. — Vol. 23 , no. 2 . — P. 242—251 . — doi : .
• Uhler, Horace S. (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1940. — Vol. 26 . — P. 205—212 . — doi : .
• Sweeney, Dura W. On the computation of Euler's constant (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1963. — Vol. 17 . — P. 170—178 . — doi : .
• Chamberland, Marc. (англ.) // Journal of Integer Sequences : journal. — 2003. — Vol. 6 . — P. 03.3.7 . 6 июня 2011 года.
• Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús. (англ.) // Applied Math. E-Notes : journal. — 2007. — Vol. 7 . — P. 237—246 .
• Wu, Qiang. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers (англ.) // (англ.) ( : journal. — 2003. — Vol. 72 , no. 242 . — P. 901—911 . — doi : .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (неопр.) .