Interested Article - Точки Лагранжа

Точки Лагранжа и эквипотенциальные поверхности системы двух тел (с учётом центробежного потенциала)

Точки Лагра́нжа , точки либра́ции ( лат. librātiō — раскачивание) или L-точки точки в системе из двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, не испытывающее воздействия никаких других сил , кроме гравитационных со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел.

Более точно точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении так называемой ограниченной задачи трёх тел — когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью . В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются центробежной силой .

Точки Лагранжа получили своё название в честь математика Жозефа Луи Лагранжа , который первым в 1772 году привёл решение математической задачи, из которого следовало существование этих особых точек.

Расположение точек Лагранжа

Схема пяти лагранжевых точек в системе двух тел, когда одно тело намного массивнее другого (Солнце и Земля). Здесь точки L 4 , L 5 показаны на самой орбите, хотя фактически они будут находиться внутри неё.

Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L 1 , L 2 и L 3 . Точки L 4 и L 5 называются треугольными или троянскими. Точки L 1 , L 2 , L 3 являются точками неустойчивого равновесия, в точках L 4 и L 5 равновесие устойчивое.

L 1 находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу; L 2 — снаружи, за менее массивным телом; и L 3 — за более массивным. В системе координат с началом отсчёта в центре масс системы и с осью, направленной от центра масс к менее массивному телу, координаты этих точек в первом приближении по α рассчитываются с помощью следующих формул :

где ,

R — расстояние между телами,
M 1 — масса более массивного тела,
M 2 — масса второго тела.

L 1

Точка L 1 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M 1 и M 2 (M 1 > M 2 ), и находится между ними, вблизи второго тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела M 2 частично компенсирует гравитацию тела M 1 . При этом чем больше M 2 , тем дальше от него будет располагаться эта точка.

Пример: Объекты, которые движутся вокруг Солнца ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние гравитации Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к планете — в точке L 1 — действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли. Для нашей планеты расстояние до точки L 1 составляет около 1,5 млн км. Притяжение Солнца здесь (118 мкм/с² ) на 2 % сильнее, чем на орбите Земли (116 мкм/с² ), тогда как снижение требуемой центростремительной силы вдвое меньше (59 мкм/с² ). Сумма этих двух эффектов уравновешивается притяжением Земли, которое составляет здесь также 177 мкм/с² .

Использование

В системе Солнце— Земля точка L 1 может быть идеальным местом для размещения космической обсерватории для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни Землёй, ни Луной. Первым аппаратом, работавшим вблизи этой точки, был запущенный в августе 1978 года аппарат ISEE-3 . Аппарат вышел на периодическую гало-орбиту вокруг этой точки 20 ноября 1978 года и был сведён с этой орбиты 10 июня 1982 года (для исполнения новых задач) . На такой же орбите с мая 1996 года работает аппарат SOHO . Аппараты ACE , WIND и DSCOVR находятся на квази-периодических орбитах Лиссажу́ близ этой же точки, соответственно, с 12 декабря 1997 , 16 ноября 2001 и 8 июня 2015 года . В 2016—2017 годах также в окрестностях этой точки проводил эксперименты аппарат LISA Pathfinder .

Лунная точка L 1 системе Земля — Луна ; удалена от центра Земли примерно на 315 тыс.км ) может стать идеальным местом для строительства космической пилотируемой орбитальной станции , которая, располагаясь на пути между Землёй и Луной, позволила бы легко добраться до Луны с минимальными затратами топлива и стать ключевым узлом грузового потока между Землёй и её спутником .

L 2

Точка L 2 в системе Солнце — Земля, располагающаяся далеко за пределами орбиты Луны (масштаб не соблюдён)

Точка L 2 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M 1 и M 2 (M 1 > M 2 ), и находится за телом с меньшей массой. Точки L 1 и L 2 располагаются на одной линии и в пределе M 1 ≫ M 2 симметричны относительно M 2 . В точке L 2 гравитационные силы, действующие на тело, компенсируют действие центробежных сил во вращающейся системе отсчёта.

Пример: у объектов, расположенных за орбитой Земли (от Солнца), орбитальный период почти всегда больше, чем у Земли. Но дополнительное влияние на объект силы тяжести Земли, помимо действия солнечной гравитации, приводит к увеличению скорости вращения и уменьшению времени оборота вокруг Солнца, в результате в точке L 2 орбитальный период объекта становится равным орбитальному периоду Земли.

Если M 2 много меньше по массе, чем M 1 , то точки L 1 и L 2 находятся на примерно одинаковом расстоянии r от тела M 2 , равном радиусу сферы Хилла :

где R — расстояние между компонентами системы.

Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг M 2 , для которой период обращения в отсутствие M 1 в раз меньше, чем период обращения M 2 вокруг M 1 .

Использование

Точка L 2 системы Солнце—Земля (1 500 000 км от Земли) является идеальным местом для расположения орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L 2 способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области полутени ) , так что солнечная радиация блокируется не полностью. На гало-орбитах вокруг этой точки на 2021 год располагались аппараты Gaia и Спектр-РГ . Ранее там действовали такие телескопы как « Планк » и « Гершель ». С 2022 года это место расположения крупнейшего космического телескопа в истории имени Джеймса Уэбба .

Точка L 2 системы Земля—Луна (61 500 км от Луны) может использоваться для обеспечения спутниковой связи с объектами на обратной стороне Луны ; впервые эту возможность реализовал в 2018 году китайский спутник Цюэцяо , ретранслятор первой в истории миссии на обратной стороне Луны Чанъэ-4 .

L 3

Три из пяти точек Лагранжа расположены на оси, соединяющей два тела

Точка L 3 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M 1 и M 2 ( M 1 > M 2 ), и находится за телом с бо́льшей массой. Так же, как для точки L 2 , в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.

Пример: точка L 3 в системе Солнце — Земля находится за Солнцем, на противоположной стороне земной орбиты. Однако, несмотря на свою малую (по сравнению с солнечной) гравитацию, Земля всё же оказывает там небольшое влияние, поэтому точка L 3 находится не на самой орбите Земли, а чуть ближе к Солнцу (на 263 км , или около 0,0002 %) , так как вращение происходит не вокруг Солнца, а вокруг барицентра . В результате в точке L 3 достигается такое сочетание гравитации Солнца и Земли, что объекты, находящиеся в этой точке, движутся с таким же орбитальным периодом, как и наша планета.

До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке L 3 другой аналогичной ей планеты, называемой « Противоземлёй », которая из-за своего расположения была недоступна для прямых наблюдений. Однако на самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L 3 в системе Солнце — Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических соединений Земли и Венеры по разные стороны Солнца, которые случаются каждые 20 месяцев , Венера находится всего в 0,3 а. е. от точки L 3 и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты. Кроме того, из-за движения Солнца вокруг центра масс системы Солнце — Юпитер, при котором оно последовательно занимает положение по разные стороны от этой точки, и эллиптичности земной орбиты, так называемая «Противоземля» всё равно время от времени была бы доступна для наблюдений и обязательно была бы замечена. Ещё одним эффектом, выдающим её существование, была бы её собственная гравитация: влияние тела размером уже порядка 150 км и более на орбиты других планет было бы заметно . С появлением возможности производить наблюдения с помощью космических аппаратов и зондов было достоверно показано, что в этой точке нет объектов размером более 100 м [ нет в источнике ] .

Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки L 3 , могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца — в частности, за появлением новых пятен или вспышек, — и оперативно передавать информацию на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде NOAA ). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к Марсу или астероидам. В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника

L 4 и L 5

Гравитационное ускорение в точке L 4

Если на основе линии, соединяющей оба тела системы, построить два равносторонних треугольника, две вершины которых соответствуют центрам тел M 1 и M 2 , то точки L 4 и L 5 будут соответствовать положению третьих вершин этих треугольников, расположенных в плоскости орбиты второго тела в 60 градусах впереди и позади него.

Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на центр масс системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. (На самом деле, масса третьего тела и не должна быть пренебрежимо малой). Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над задачей трёх тел . Точки L 4 и L 5 называют треугольными (в отличие от коллинеарных).

Также точки называют троянскими : это название происходит от троянских астероидов Юпитера , которые являются самым ярким примером проявления этих точек. Они были названы в честь героев Троянской войны из « Илиады » Гомера , причём астероиды в точке L 4 получают имена греков, а в точке L 5 — защитников Трои ; поэтому их теперь так и называют «греками» (или « ахейцами ») и «троянцами».

Расстояния от центра масс системы до этих точек в координатной системе с центром координат в центре масс системы рассчитываются по следующим формулам:

где

,
R — расстояние между телами,
M 1 — масса более массивного тела,
M 2 — масса второго тела.
Расположение точек Лагранжа в системе Солнце — Земля
L 1 =(1,48104 ⋅ 10 11 , 0)
L 2 =(1,51092 ⋅ 10 11 , 0)
L 3 =(-1,49598 ⋅ 10 11 , 0)
L 4 =(7,47985 ⋅ 10 10 , 1,29556 ⋅ 10 11 )
L 5 =(7,47985 ⋅ 10 10 , −1,29556 ⋅ 10 11 )
Примеры:
  • В 2010 году в системе Солнце — Земля в троянской точке L 4 обнаружен астероид 2010 TK 7 , а в 2020 году — 2020 XL 5 . В L 5 пока не обнаружено троянских астероидов, но там наблюдается довольно большое скопление межпланетной пыли.
  • По некоторым наблюдениям, в точках L 4 и L 5 системы Земля Луна находятся очень разрежённые скопления межпланетной пыли — облака Кордылевского .
  • В системе Солнце Юпитер в окрестностях точек L 4 и L 5 находятся так называемые троянские астероиды . По состоянию на 21 октября 2010 известно около четырёх с половиной тысяч астероидов в точках L 4 и L 5 .
  • Троянские астероиды в точках L 4 и L 5 есть не только у Юпитера, но и у других планет-гигантов .
  • Другим интересным примером является спутник Сатурна Тефия , в точках L 4 и L 5 которой находятся два небольших спутника — Телесто и Калипсо . Ещё одна пара спутников известна в системе Сатурн Диона : Елена в точке L 4 и Полидевк в точке L 5 . Тефия и Диона в сотни раз массивнее своих «подопечных», и гораздо легче Сатурна, что делает систему стабильной.
  • Один из сценариев модели ударного формирования Луны предполагает, что гипотетическая протопланета ( планетезималь ) Тейя , в результате столкновения которой с Землёй образовалась Луна , сформировалась в точке Лагранжа L 4 или L 5 системы Солнце Земля .
  • Первоначально считалось, что в системе Kepler-223 две из четырёх планет обращаются вокруг своего солнца по одной орбите на расстоянии 60 градусов . Однако дальнейшие исследования показали, что данная система не содержит коорбитальных планет .

Равновесие в точках Лагранжа

Изображение двойной звезды Мира (омикрон Кита), сделанное космическим телескопом « Хаббл » в ультрафиолетовом диапазоне. На фотографии виден поток материи, направленный от основного компонента — красного гиганта — к компаньону — белому карлику . Массообмен осуществляется через окрестности точки L 1

Тела, помещённые в коллинеарных точках Лагранжа, находятся в неустойчивом равновесии. Например, если объект в точке L 1 слегка смещается вдоль прямой, соединяющей два массивных тела, сила, притягивающая его к тому телу, к которому оно приближается, увеличивается, а сила притяжения со стороны другого тела, наоборот, уменьшается. В результате объект будет всё больше удаляться от положения равновесия.

Такая особенность поведения тел в окрестностях точки L 1 играет важную роль в тесных двойных звёздных системах . Полости Роша компонент таких систем соприкасаются в точке L 1 , поэтому, когда одна из звёзд-компаньонов в процессе эволюции заполняет свою полость Роша, вещество перетекает с одной звезды на другую именно через окрестности точки Лагранжа L 1 .

Несмотря на это, существуют стабильные замкнутые орбиты (во вращающейся системе координат) вокруг коллинеарных точек либрации, по крайней мере, в случае задачи трёх тел. Если на движение влияют и другие тела (как это происходит в Солнечной системе ), вместо замкнутых орбит объект будет двигаться по квазипериодическим орбитам, имеющим форму фигур Лиссажу . Несмотря на неустойчивость такой орбиты, космический аппарат может оставаться на ней в течение длительного времени, затрачивая относительно небольшое количество топлива .

В отличие от коллинеарных точек либрации, в троянских точках обеспечивается устойчивое равновесие, если M 1 / M 2 > 24,96 . При смещении объекта возникают силы Кориолиса , которые искривляют траекторию, и объект движется по устойчивой орбите вокруг точки либрации.

Практическое применение

Полости Роша для двойной звёздной системы (обозначены жёлтым)

Исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L 1 системы Земля — Солнце удобно разместить космическую солнечную обсерваторию — она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит, наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L 2 подходит для космического телескопа — здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L 2 неосвещённой стороной. Точка L 1 системы Земля — Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращённого к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землёй.

В настоящее время несколько космических аппаратов , в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены или планируются к размещению в различных точках Лагранжа Солнечной системы :

Точка L 1 системы Земля—Солнце :


Точка L 2 системы Земля—Солнце :

  • Космический аппарат WMAP , изучающий реликтовое излучение (запущен в 2001 году).
  • Космические телескопы « Гершель » и « Планк », (запущены в 2009 году) .
  • Европейский телескоп « Gaia » (запущен в 2013 году).
  • Космическая обсерватория Спектр-РГ (запущена в 2019 году) .
  • Орбитальная инфракрасная обсерватория « Джеймс Уэбб » (запущена в 2021 году) .
  • Космический телескоп PLATO также планируется разместить в точке L 2 (запуск запланирован на 2026 год).

Другие точки Лагранжа :

  • в сентябре-октябре 2009 года два аппарата STEREO совершили транзит через точки L 4 и L 5 .
  • JIMO ( Jupiter Icy Moons Orbiter ) — отменённый проект NASA по исследованию спутников Юпитера, который должен был активно использовать систему точек Лагранжа для перехода от одного спутника к другому с минимальными затратами топлива. Этот манёвр получил название «лестница Лагранжа» .
  • THEMIS несколько аппаратов вокруг точек L1 и L2 системы Земля-Луна
  • ретрансляционный спутник Цюэцяо , выведенный на орбиту 20 мая 2018 года с помощью ракеты Чанчжэн-4C , циркулирует по гало-орбите вокруг точки Лагранжа L2 системы Земля-Луна .

Упоминание в культуре

Точки Лагранжа довольно популярны в научно-фантастических произведениях, посвящённых освоению космоса. Авторы часто помещают в них обитаемые или автоматические станции — см., например, «Возвращение к звёздам» Гарри Гаррисона , « Глубина в небе » Вернора Винджа , « Нейромант » Уильяма Гибсона , « Семиевие » Нила Стивенсона , телесериал « Вавилон-5 », аниме « Mobile Suit Gundam », компьютерные игры Prey , Borderlands 2 , (место расположения казино «Хрустальный дворец») .

Иногда в точки Лагранжа помещают и более интересные объекты — мусорные свалки («Единение разумов» Чарльза Шеффилда , «Нептунова арфа» Андрея Балабухи ), инопланетные артефакты («Защитник» Ларри Нивена ) и даже целые планеты («Планета, с которой не возвращаются» Пола Андерсона ). Айзек Азимов предлагал отправлять в точки Лагранжа радиоактивные отходы («Вид с высоты»).

Московская пост-роковая группа Mooncake в 2008 году выпустила альбом Lagrange Points , на обложке которого схематически изображены все точки Лагранжа.

См. также

Примечания

Комментарии
  1. Угловой размер Земли с расстояния 1,5 млн км — 29,3′, а Солнца с 1 а. е. + 1,5 млн км — 31,6′
Источники
  1. Lagrange, Joseph-Louis . Tome 6, Chapitre II: Essai sur le problème des trois corps // (фр.) . — Gauthier-Villars. — С. 229—334. 13 мая 2020 года.
  2. S. Widnall. . Дата обращения: 8 марта 2020. 12 ноября 2020 года.
  3. от 20 июля 2015 на Wayback Machine by NASA Solar System Exploration
  4. . Дата обращения: 6 августа 2015. 20 августа 2014 года.
  5. . Дата обращения: 6 августа 2015. 4 марта 2016 года.
  6. . NOAA. 2015-06-08. из оригинала 8 июня 2015 . Дата обращения: 8 июня 2015 .
  7. . ESA Science and Technology . ESA (20 июня 2017). Дата обращения: 17 августа 2017. 5 августа 2017 года.
  8. . Дата обращения: 5 ноября 2017. 5 июня 2022 года.
  9. Ken Murphy. (англ.) . The Space Review (24 января 2011). Дата обращения: 5 ноября 2017. 7 ноября 2017 года.
  10. // Australian Space Academy. — Дата обращения: 07.11.2017.
  11. от 27 октября 2014 на Wayback Machine (англ.)
  12. . Дата обращения: 26 января 2016. Архивировано из 8 декабря 2008 года.
  13. Tantardini, Marco; Fantino, Elena; Yuan Ren, Pierpaolo Pergola, Gerard Gymez and Josep J. Masdemont. (англ.) // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy (Springer) : journal. — 2010. (недоступная ссылка)
  14. . Дата обращения: 7 июля 2020. 29 июля 2020 года.
  15. Santana-Ros, T.; Micheli, M.; Faggioli, L.; Cennamo, R.; Devogèle, M.; Alvarez-Candal, A.; et al. : [ англ. ] : [ 5 июня 2022 ] // Nature Communications . — 2022. — doi : .
  16. . Дата обращения: 22 октября 2010. 25 июля 2011 года.
  17. . Minor Planet Center. Дата обращения: 27 октября 2010. 24 августа 2011 года.
  18. . Дата обращения: 7 июля 2020. 9 июня 2020 года.
  19. . Дата обращения: 6 октября 2011. Архивировано из 25 июля 2013 года.
  20. Beatty, Kelly. . Sky and Telescope (2011). Дата обращения: 11 марта 2011. 24 января 2013 года.
  21. . Дата обращения: 27 июля 2007. 24 марта 2010 года.
  22. . genesismission.jpl.nasa.gov. Дата обращения: 26 марта 2019. 27 июня 2018 года.
  23. . Дата обращения: 7 июля 2020. 16 апреля 2021 года.
  24. . Lenta.ru (6 июля 2009). Дата обращения: 14 августа 2010. 21 декабря 2009 года.
  25. . ТАСС . Дата обращения: 14 июля 2019. 14 июля 2019 года.
  26. от 13 ноября 2021 на Wayback Machine (англ.)
  27. . Дата обращения: 23 февраля 2014. 16 января 2022 года.
  28. от 17 апреля 2009 на Wayback Machine (англ.)
  29. Дата обращения: 7 января 2012. 17 января 2013 года.
  30. (англ.) . NASASpaceFlight.com (20 мая 2018). Дата обращения: 2 июля 2022. 9 ноября 2020 года.
  31. . nplus1. 2018-06-14. из оригинала 23 октября 2018 . Дата обращения: 23 октября 2018 .

Ссылки

  • (англ.)
  • David Peter Stern . (англ.)
Источник —

Same as Точки Лагранжа