Теорема Титце о продолжении (или Теорема Титце — Урысона ) даёт достаточные условия на функцию, заданную на подмножестве пространства и допускающую непрерывное продолжение на всё пространство.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X}$ — нормальное пространство и

${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$

непрерывная вещественнозначная функция, заданная на замкнутом подмножестве ${\displaystyle A\subset X}$ . Тогда существует непрерывная функция

${\displaystyle F\colon X\to \mathbb {R} }$ ,

такая, что ${\displaystyle F(a)=f(a)}$ для всех ${\displaystyle a\in A}$ .

Более того, если ${\displaystyle f}$ ограничена, то функция ${\displaystyle F}$ может быть выбрана также ограниченной той же константой.

История

• Лёйтзен Брауэр и Анри Лебег доказали частный случай теоремы, для конечномерных вещественных векторных пространств .
• Генрих Титце обобщил теорему на случай всех метрических пространств .
• Павел Урысон доказал теорему, как указано здесь, для нормальных топологических пространств.

Вариации и обобщения

• Эта теорема эквивалентна лемме Урысона .

• Если ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство , тогда липшицева функция, определённая на произвольном подмножестве ${\displaystyle X}$ , продолжается до липшицевой функции на всё пространство, с той же константой Липшица.

См. также

• Теорема Киршбрауна о продолжении

Ссылки