Цикл — граф , состоящий из единственного цикла , или, другими словами, некоторого числа вершин, соединённых замкнутой цепью. Граф-цикл с n вершинами обозначают как C _n . Число вершин в C _n равно числу рёбер и каждая вершина имеет степень 2 , то есть любая вершина инцидентна ровно двум рёбрам.

Терминология

Граф-цикл имеет много синонимов. Используют термины простой граф-цикл и циклический граф , хотя последний термин употребляется не часто, поскольку он может относиться к графам, не являющимся ациклическими . Иногда употребляются термины цикл , многоугольник или n -угольник . Цикл с чётным числом вершин называют чётным циклом , а с нечётным числом вершин — нечётным циклом .

Свойства

Граф-цикл:

• связен
• 2-регулярен
• эйлеров
• гамильтонов
• раскрашиваем в два цвета тогда и только тогда, когда он имеет чётное число вершин. Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не имеет нечётных циклов (в качестве подграфов) ( Кёниг , 1936).
• рёберно-2-раскрашиваем тогда и только тогда, когда он имеет чётное число вершин.
• Вершинно-раскрашиваем в 3 цвета и рёберно-3-раскрашиваем для любого числа вершин.
• с постоянным расстоянием единица

Вдобавок:

• Поскольку графы-циклы можно нарисовать в виде правильных многоугольников , симметрии цикла с n вершинами те же самые, что и у правильного многоугольника с n сторонами, то есть диэдрическая группа порядка 2 n . В частности, существуют симметрии, переводящие любую вершину в любую другую вершину и любое ребро в любое другое ребро, так что n -цикл является симметричным графом .

Ориентированный граф-цикл

Ориентированным графом-циклом называется ориентированная версия графа-цикла, в котором все дуги направлены в одном и том же направлении.

В ориентированном графе множество дуг, которые содержат хотя бы одну дугу из каждого ориентированного цикла, называется . Подобным образом, множество вершин, содержащих по меньшей мере одну вершину из каждого ориентированного цикла, называется разрезающее циклы множество вершин .

Ориентированный граф-цикл имеет постоянную полустепень захода 1 и постоянную полустепень исхода 1 .

Ориентированные графы-циклы являются графами Кэли для циклических групп (см., например, Тревизана [ Trevisan ]).

См. также

• Полный двудольный граф
• Путь (теория графов)
• Полный граф

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld . (обсуждение как 2-регулярных графов-циклов, так и групповые концепции )
• , .