В математике любая лагранжева система допускает калибровочные симметрии, возможно, тривиальные. В теоретической физике понятие калибровочной симметрии , зависящей от параметров, являющихся функциями координат, является краеугольным камнем современной теории поля .

Калибровочная симметрия лагранжиана ${\displaystyle L}$ определяется как дифференциальный оператор на некотором векторном расслоении ${\displaystyle E}$ , принимающий значения в линейном пространстве (вариационных или точных) симметрий ${\displaystyle L}$ . Поэтому калибровочная симметрия лагранжиана ${\displaystyle L}$ зависит от сечений расслоения ${\displaystyle E}$ и их частных производных. Например, это случай калибровочных симметрий в классической теории поля , например, в калибровочной теории Янга — Миллса и калибровочной теории гравитации . Калибровочные симметрии обладают следующими двумя важными особенностями.

Во-первых, будучи лагранжевой симметрией, калибровочная симметрия лагранжевой системы удовлетворяет первой теореме Нётер , но соответствующий сохраняющийся ток симметрии ${\displaystyle J^{\mu }}$ принимает вид

${\displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu \mu }}$ ,

где первое слагаемое ${\displaystyle W^{\mu }}$ обращается в ноль на решениях уравнения Эйлера — Лагранжа , а второе слагаемое сводится к дивергенции, где ${\displaystyle U^{\nu \mu }}$ называется суперпотенциалом.

Во-вторых, в соответствии со второй теоремой Нётер имеет место взаимно однозначное соответствие между калибровочными симметриями лагранжиана и тождествами Нётер , которым подчиняется оператор Эйлера — Лагранжа . Таким образом, калибровочные симметрии характеризуют вырожденность лагранжевой системы.

См. также

• Лагранжева система
• Тождества Нётер
• Калибровочная инвариантность
• Теория Янга — Миллса
• Калибровочная теория гравитации

Литература

• Daniel, M., Viallet, C., The geometric setting of gauge symmetries of the Yang–Mills type, Rev. Mod. Phys. 52 (1980) 175.
• Eguchi, T., Gilkey, P., Hanson, A., Gravitation, gauge theories and differential geometry, Phys. Rep. 66 (1980) 213.
• Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundation of Gauge Theories (North Holland, 1992) ISBN 0-444-89708-9 .
• Gomis, J., Paris, J., Samuel, S., Antibracket, antifields and gauge theory quantization, Phys. Rep. 295 (1995) 1; .
• Giachetta, G. (2008), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory, J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; .
• Giachetta, G. (2009), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009).