Interested Article - Плоскость

Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии . При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые ; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически .

Некоторые характеристические свойства плоскости

  • Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую , соединяющую любые её точки ;
  • Две различные плоскости либо являются параллельными , либо пересекаются по прямой.
  • Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
  • Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
  • Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
Плоскость и два её нормальных вектора: n 1 и n 2

Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро ( 1731 ).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе ( 1816 1818 ).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе ( 1861 ).

Плоскость алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости

где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным . При плоскость проходит через начало координат , при (или , ) плоскость параллельна оси (соответственно или ). При ( , или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).

  • Уравнение плоскости в отрезках:

где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку ,перпендикулярной вектору нормали :

в векторной форме:

  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой :

(смешанное произведение векторов), иначе

  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, является радиусом-вектором точки , заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от к , перпендикулярен n .

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

(Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости и вектор нормали .

Уравнение плоскости записывается так:

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

  • Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением
,если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно
  • Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

Расстояние между параллельными плоскостями

  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E 3 проходит через линию пересечения плоскостей E 1 и E 2 , 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятия

  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

Если в векторной форме, то

или (Векторное произведение)
  • Плоскости перпендикулярны , если
или . (Скалярное произведение)
  • Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид :222 :
где и — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
  • Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей :224 . Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
где , и — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщения

Плоскости в неевклидовом пространстве

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой . В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные , аффинные , гиперболические и эллиптические плоскости .

Многомерные плоскости

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат . m-плоскостью называется множество точек , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, — вектор переменных, — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
— векторное уравнение m-плоскости.
Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости называются параллельными , если их направляющие пространства совпадают и .

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью . Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть — нормальный вектор плоскости, — вектор переменных, — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
— общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: , или:
.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая . Её векторное уравнение имеет вид: . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. также

Примечания

  1. .
  2. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. . — М. : Высшая школа , 1985. — 232 с. 10 января 2014 года.

Литература

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М. : Физматлит, 2002. — 240 с.
  • Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1984. — Т. 4. — С. 318—319.

Ссылки

Источник —

Same as Плоскость